E进制

e进制是以自然常数e作為進位制底数的进制。類似於三进制，通常使用0、1、2三个数字來表達，但由於除了0、1和2之外大部分的整數在e进制中皆需要用無窮小數來表示，因此不是一個實用的進位制，但在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

性質
在e进制中，自然對數的行為與十進制中的常用對數類似，例如：
:\ln 1_{\left(e\right)} = 0
:\ln 10_{\left(e\right)} = 1
:\ln 100_{\left(e\right)} = 2
:\ln 1000_{\left(e\right)} = 3

e进制效率
在底數經濟度模型中，e进制被認為是最高效率的進位制。

當一個數用x進位（x>0, x \in \mathbb{R}）表達時，每個位數需要x種符號表達，若要表達一個n位數字要儲存的元素N(x) ：
:N(x) = nx
而x進制系統中表示的n位數的資訊量I（I>x）則有：
:I = x^n \Leftrightarrow n = \log_{x}I = \frac{\ln I}{\ln x}
因此，在x進制系統中以n位數能表示I的信息量所需的存儲元素數N(x)為：
:N(x) = nx = \ln I \cdot \frac{x}{\ln x}
在
:
\begin{cases}
N^{\prime}(x) 0 &x>1
\end{cases}

之下，求出哪個x能使N(x)最小即可， 即找到能使N(x)微分為0的x。
:
\begin{align}
N^\prime(x) & = \ln I \cdot \left( \frac{x}{\ln x} \right)^\prime \\
& = \ln I \cdot \frac{\ln x - 1}{\left( \ln x \right)^2} \\
\end{align}

:在\ln x = 1時N^\prime(x)有根N^\prime(x) = 0，
:解得x = e
因此解得以e為底的進位制理論上能有最高的表達效率。

與其他進制比較
e進制中，除了0、1和2之外，其他整數皆需要以無窮不循環小數來表達，其中整數部分可透過貪婪演算法找出。

无理数的e进制表示
常见无理数的e进制表示如下：

• \color{blue}\pi ≈
• \color{blue}e = (e)（在此記數系統為整數）
• \color{blue}\sqrt{2} ≈
• \color{blue}\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ≈

參見

• e (數學常數)
• 廣義的進位制
• 三進制

參考文獻
#伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
#桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所