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语法幺半群

Wikipedia · 2021-05-17 维基百科 👁 0 阅读

语法幺半群，即在数学中，形式语言 L 的 语法幺半群 M(L) 是可识别语言 L 的最小的幺半群。

语法商
给定幺半群 M 的子集 S\subset M，可以定义由 S 中元素的形式左逆或右逆组成的集合。它们叫做商，可以定义右商和左商，依赖于串接的是哪一端。S 与一个元素 m\in M 的右商是集合
:S/m=\{u\in M \;\vert\; um\in S \}

类似的，左商是

:m\setminus S=\{u\in M \;\vert\; mu\in S \}

语法等价
语法商引发了 M 上的一个等价关系，叫做(引发自 S 的)语法关系、语法等价或语法同余。右语法等价是等价关系

:\sim_S \;= \{(s,t)\in M\times M \,\vert\; S/s = S/t \}

类似的，左语法关系是

:\,_S\sim \;= \{(s,t)\in M\times M \,\vert\; s\setminus S = t \setminus S \}

两端同余可以定义为

:u \sim_S v \Leftrightarrow \forall x, y\in M (xuy \in S \Leftrightarrow xvy \in S)

语法幺半群
语法商相容于在幺半群中的串接，有着

:(M/s)/t = M/(ts) \,

对于所有 s,t\in M (左商也类似)。所以，语法商是幺半群态射，并包括一个商幺半群

:M(S)= M / \sim_S \,

可以证明 S 的语法幺半群是可识别 S 的最小的幺半群；就是说 M(S) 识别 S，对于所有识别 S 的幺半群 N，M(S) 是 N 的子幺半群的商。S 的语法幺半群也是 S 的极小自动机的转移幺半群。

等价的说，一个语言 L 是可识别的，当且仅当商的族

:\{L/m \,\vert\; m\in M\}

是有限的。等价性的证明非常容易。假定字符串 x 是可被确定有限状态自动机识别的，带有最终机器状态是 f。如果 y 是这个机器可识别的另一个字符串，也终止于同样的最终状态 f，则明显的有 L/x\,\sim L/y。类似的，在 \{L/m \,\vert\; m\in M\} 中元素的数目就精确等于这个自动机的最终状态的数目。假定反过来: 在 \{L/m \,\vert\; m\in M\} 中元素的数目是有限的。可以接着构造一个自动机，使得 Q=\{L/m \,\vert\; m\in M\} 是状态的集合，F=\{L/m \,\vert\; m\in L\} 是最终状态的集合，单元素集合 L 是初始状态，转移函数给出自 (L/x)/y=L/(xy)。明显的这个自动机识别 L。所以语言 L 是可识别的当且仅当集合 \{L/m \,\vert\; m\in M\} 是有限的。

给定表示 S 的一个正则表达式 E，很容易计算 S 的语法幺半群。

例子

  • 雙循環么半群是 戴克語的语法幺半群。
  • 跡幺半群是语法幺半群。

參考文獻

#形式语言 #半群论

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