藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡，以及振荡火焰的动力学。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列。
这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。
定义
在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率\omega_i，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在N\to\infty的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。
这个模型最常见的形式由以下方程组给出：
\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}},\quad i=1,\cdots,N
系统由N个极限环振子组成，\theta_i是第i个振子的相位，K是耦合强度。
也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为
\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}}+\zeta_i,\quad i=1,\cdots,N
其中\zeta_i是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：
\langle\zeta_i(t)\rangle=0,
\langle\zeta_i(t)\zeta_j(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')
其中D代表噪声强度。
变换
使得这个模型（至少在N\to\infty的极限下）能够精确求解的变换如下所示：
定义“序”参量
Re^{i\psi}=\frac 1N\sum_{j=1}^N{e^{i\theta_j}}
R表征了这群振子的相位相关性，\psi是平均相位。方程两边乘以e^{-\text{i}\theta_i}，只考虑虚部得到：
\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+KR\sin{(\psi-\theta_i)}
因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即\psi=0）。最终，方程变为：
\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i-KR\sin{\theta_i}
大N极限
在热力学极限下，即考虑N\to\infty的情况。自然频率的分布记为g(\omega)（假设已经归一化）。设在时刻t，在所有自然频率为\omega的振子中，相位为\theta的振子所占比例为\rho(\theta,\omega,t)。归一化要求
\int_0^{2\pi}{\rho(\theta,\omega,t)d\theta}=1
振子密度的连续性方程为
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial\theta}=0
其中v=\omega+KR\sin{(\psi-\theta)}是振子的漂移速度。
最终，在连续统极限下重新写出序参量。\theta_i应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到
Re^{i\psi}=\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^\infty{\rho(\theta,\omega,t)g(\omega)e^{i\theta}d\omega}d\theta}
解
所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解\rho=\frac 1{2\pi}。这种情况R=0，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。
当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。
部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子
\rho=\delta\left(\theta-\psi-\arcsin{\frac\omega{KR}}\right)
对漂移的振子，
\rho\propto\frac 1{\omega-KR\sin{(\theta-\psi)}}
与哈密顿系统的联系
耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中，哈密顿量具有形式：
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\frac 12\omega_i(q_i^2+p_i^2)}+\frac K{4N}\sum_{i,j=1}^N{(q_ip_j-q_jp_i)(q_j^2+p_j^2-q_i^2-p_i^2)}
用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为I_i=\frac 12(q_i^2+p_i^2)，角度（相位）\theta_i=\arctan{\frac{q_i}{p_i}}，在作用量I_i\equiv I为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\omega_i I_i}-\frac KN\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}}
哈密顿运动方程为
\frac{dI_i}{dt}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\theta_i}=-\frac {2K}N\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\cos{(\theta_j-\theta_i)}}
\frac{d\theta_i}{dt}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial I_i}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_j/I_i}(I_i+I_j)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}
因为\frac{dI_i}{dt}=0，所以I_i=I确定的流形是不变的，并且相位动力学\frac{d\theta_i}{dt}就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。
模型的变体
模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。
改变拓扑
除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。
改变相位的相互作用
藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即\Gamma(\phi)=\sin\phi，其中\phi=\theta_j-\theta_i。通过把高阶傅里叶分量包括进来，可以得到更好的近似
\Gamma(\phi)=\sin\phi+a_1\sin{(2\phi+b_1)}+\cdots+a_n\sin{(2n\phi+b_n)}
例如，对于弱耦合的网络，其同步行为可以用一些振子来表示，这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象，例如、部分同步态、以及奇美拉态。
参考资料
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