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卢卡斯-莱默检验法

Wikipedia · 2025-07-03 维基百科 👁 1 阅读

卢卡斯-莱默检验法（），是数学中检验梅森数的素性检验，由法國數學家爱德华·卢卡斯（）于1878年完善，美國數學家德里克·亨利·莱默（）随后于1930年代将其改进。

因特网梅森質数大搜索用这个检验法找到了不少很大的質数，最近几个最大的質数就是这个项目发现的。由于梅森数比随机选择的整数更有可能是質数，因此他们认为这是一个极有用的方法。

方法
卢卡斯－莱默检验法原理是这样：

令梅森数
Mp = 2p− 1作为检验对象（预设p是質数，否则Mp就是合数了）。

定义序列{si }：所有的i ≥ 0
::
:.
:.
:.

这个序列的开始几项是4, 14, 194, 37634, ...

那么Mp是素数当且仅当

:s_{p-2}\equiv0\pmod{M_p};

否则, Mp是合数。

sp − 2模Mp的余数叫做p的卢卡斯－莱默余数。

例子
假设我们想验证M3 = 7是素数。我们从s=4开始，并更新3−2 = 1次，把所有的得数模7：

  • s ← ((4×4) − 2) mod 7 = 0

由于我们最终得到了一个能被7整除的s，因此M3是素数。

另一方面，M11 = 2047 = 23×89就不是素数。我们仍然从s=4开始，并更新11−2 = 9次，把所有的得数模2047：

  • s ← ((4×4) − 2) mod 2047 = 14
  • s ← ((14×14) − 2) mod 2047 = 194
  • s ← ((194×194) − 2) mod 2047 = 788
  • s ← ((788×788) − 2) mod 2047 = 701
  • s ← ((701×701) − 2) mod 2047 = 119
  • s ← ((119×119) − 2) mod 2047 = 1877
  • s ← ((1877×1877) − 2) mod 2047 = 240
  • s ← ((240×240) − 2) mod 2047 = 282
  • s ← ((282×282) − 2) mod 2047 = 1736

由于s最终仍未能被2047整除，因此M11=2047不是素数。但是，我们从这个检验法仍然无法知道2047的因子，只知道它的卢卡斯-莱默余数1736。

正确性的证明
我们注意到{\langle}s_i{\rangle}是一个具有闭式解的递推关系。定义\omega = 2 + \sqrt{3}及\bar{\omega} = 2 - \sqrt{3}；我们可以用数学归纳法来验证对于所有i，都有s_i = \omega^{2^i} + \bar{\omega}^{2^i}：

:s_0 = \omega^{2^0} + \bar{\omega}^{2^0} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4。
:\begin{array}{lcl}s_n & = & s_{n-1}^2 - 2 \\
& = & \left(\omega^{2^{n-1}} + \bar{\omega}^{2^{n-1}}\right)^2 - 2 \\
& = & \omega^{2^n} + \bar{\omega}^{2^n} + 2(\omega\bar{\omega})^{2^{n-1}} - 2 \\
& = & \omega^{2^n} + \bar{\omega}^{2^n}, \\
\end{array}
最后一个步骤可从\omega\bar{\omega} = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 1推出。在两个部分中，我们都将用到这个结果。

充分性
我们希望证明s_{p-2}\equiv0\pmod{M_p}意味着M_p是素数。我们叙述一个利用初等群论的证明，由J. W.布鲁斯给出。

假设s_{p-2} \equiv 0 \pmod{M_p}。那么对于某个整数k，有\omega^{2^{p-2}} + \bar{\omega}^{2^{p-2}} = kM_p，以及：
:\begin{array}{rcl}
\omega^{2^{p-2}} & = & kM_p - \bar{\omega}^{2^{p-2}} \\
\left(\omega^{2^{p-2}}\right)^2 & = & kM_p\omega^{2^{p-2}} - (\omega\bar{\omega})^{2^{p-2}} \\
\omega^{2^{p-1}} & = & kM_p\omega^{2^{p-2}} - 1.\quad\quad\quad\quad\quad(1) \\
\end{array}

现在假设Mp是合数，其非平凡素因子q > 2（所有梅森素数都是奇数）。定义含有q2个元素的集合X = \{a + b\sqrt{3} | a, b \in \mathbb{Z}_q\}，其中\mathbb{Z}_q是模q的整数，是一个有限域。X中的乘法运算定义为：

:(a + b\sqrt{3})(c + d\sqrt{3}) = [(ac + 3bd) \hbox{ mod } q] + [(bc + ad) \hbox{ mod } q]\sqrt{3}.

由于q > 2，因此\omega和\bar{\omega}位于X内。任何两个位于X内的数的乘积也一定位于X内，但它不是一个群，因为不是所有的元素x都有逆元素y，使得xy = 1。如果我们只考虑有逆元素的元素，我们便得到了一个群X*，它的大小最多为q^2-1（因为0没有逆元素）。

现在，由于M_p \equiv 0 \pmod q，且\omega \in X，我们有kM_p\omega^{2^{p-2}} = 0，根据方程(1)可得\omega^{2^{p-1}} = -1。两边平方，得\omega^{2^p} = 1，证明了\omega是可逆的，其逆元素为\omega^{2^{p}-1}，因此位于X内，它的目能整除2^p。实际上，这个阶必须等于2^p，因为\omega^{2^{p-1}} \neq 1，因此这个阶不能整除2^{p-1}。由于群元素的阶最多就是群的大小，我们便得出结论，2^p \leq q^2 - 1 。但由于q*是M_p的一个非平凡素因子，我们必须有q^2 \leq M_p = 2^p-1，得出矛盾2^p 。因此M_p是素数。

必要性
我们假设M_p是素数，欲推出s_{p-2} \equiv0\pmod{M_p}。我们叙述一个Öystein J. R.
Ödseth的证明。首先，注意到3是模 Mp的二次非剩余，这是因为对于奇数p > 1，2 p − 1只取得值7 mod 12，因此从勒让德符号的性质可知(3|M_p)是−1。根据欧拉准则，可得：

: 3^{(M_p-1)/2} \equiv -1 \pmod{M_p}.

另一方面，2是模M_p的二次剩余，这是因为2^p \equiv 1 \pmod{M_p}，因此2 \equiv 2^{p+1} = \left(2^{(p+1)/2}\right)^2 \pmod{M_p}。根据欧拉准则，可得：

: 2^{(M_p-1)/2} \equiv 1 \pmod{M_p}.

接着，定义\sigma = 2\sqrt{3}，并像前面那样，定义X*为\{a + b\sqrt{3} | a, b \in \mathbb{Z}_{M_p}\}的乘法群。我们将用到以下的引理：

: (x+y)^{M_p} \equiv x^{M_p} + y^{M_p} \pmod{M_p}

（根据费马小定理），以及

: a^{M_p} \equiv a \pmod{M_p}

对于所有整数a（费马小定理）。

那么，在群X*中，我们有：

:\begin{array}{lcl}
(6+\sigma)^{M_p} & = & 6^{M_p} + (2^{M_p})(\sqrt{3}^{M_p}) \\
& = & 6 + 2(3^{(M_p-1)/2})\sqrt{3} \\
& = & 6 + 2(-1)\sqrt{3} \\
& = & 6 - \sigma.
\end{array}

简单计算可知 \omega = (6+\sigma)^2/24。我们可以用这个结果来计算群X*中的\omega^{(M_p+1)/2}：

:\begin{array}{lcl}
\omega^{(M_p+1)/2} & = & (6 + \sigma)^{M_p+1}/24^{(M_p+1)/2} \\
& = & (6 + \sigma)^{M_p}(6 + \sigma)/(24 \times 24^{(M_p-1)/2}) \\
& = & (6 - \sigma)(6 + \sigma)/(-24) \\
& = & -1.
\end{array}

其中我们用到了以下的事实：

: 24^{(M_p-1)/2} = (2^{(M_p-1)/2})^3(3^{(M_p-1)/2}) = (1)^3(-1) = -1。

由于M_p \equiv 3 \pmod 4，我们还需要做的就是把方程的两边乘以\bar{\omega}^{(M_p+1)/4}，并利用\omega\bar{\omega}=1：

: \begin{array}{rcl}
\omega^{(M_p+1)/2}\bar{\omega}^{(M_p+1)/4} & = & -\bar{\omega}^{(M_p+1)/4} \\
\omega^{(M_p+1)/4} + \bar{\omega}^{(M_p+1)/4} & = & 0 \\
\omega^{(2^p-1+1)/4} + \bar{\omega}^{(2^p-1+1)/4} & = & 0 \\
\omega^{2^{p-2}} + \bar{\omega}^{2^{p-2}} & = & 0 \\
s_{p-2} & = & 0. \\
\end{array}

由于sp−2是整数，且在X内是零，因此它也是零mod M*p。

参见
*梅森素数
*因特网梅森素数大搜索（GIMPS）
*新梅森猜想
*埃拉托斯特尼筛法
*米勒-拉宾检验
*试除法
*费马素性检验
*卢卡斯-莱默检验法
*孪生素数
*三胞胎素数
*四胞胎素数
*素数判定法则
*表兄弟素数
*六素数
*X²+1素数

注释
参考文献

  • Section 4.2.1: The Lucas–Lehmer test, pp.167–170.

外部链接
*

#梅森素数 #素性测试

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