解析容度

在复分析中，复平面的紧子集K的解析容度（analytic capacity）是一个标志了\mathbb{C}\setminus K上的有界解析函数可以有“多大”的数。粗略地说，解析容度\gamma(K)测量了\mathbb{C}\setminus K上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。

这个概念最早由阿尔福斯在1940年代研究有界解析函数的奇点的可去性时引入。

定义
紧集K \subset \mathbb{C}的解析容度定义为

\gamma(K)=\sup\{|f'(\infty)|:f\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}\setminus K),\|f\|_\infty\le 1,f(\infty)=0\}

其中，\mathcal{H}^\infty(U)表示有界解析函数f:U\to\mathbb{C}组成的集合。此外，

f'(\infty):=\lim_{z\to\infty}{z(f(z)-f(\infty))}

f(\infty):=\lim_{z\to\infty}{f(z)}

注意如果令g(z)=f(1/z)，则有f'(\infty)=g'(0)。但是，一般来说f'(\infty)\neq\lim_{z\to\infty}{f'(z)}。

对任意集合A\subset\mathbb{C}，定义

\gamma(A)=\sup_{K\subset A}{\gamma(K)}

其中K取遍所有包含于A的紧集。

可去集与潘勒韦问题
设K是紧集，若对任意包含K的开集\Omega，集合\Omega\setminus K上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个\Omega上，则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理，单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题：“\mathbb{C}的哪些子集是可去的？”

容易看出，K是可去的当且仅当\gamma(K)=0。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。

阿尔福斯函数
对紧集K \subset \mathbb{C}，存在唯一的极值函数，即f\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}\setminus K)使得\|f\|\le1,f(\infty)=0,f'(\infty)=\gamma(K)。这个函数称为K的阿尔福斯函数。

解析容度与豪斯多夫维数
用\dim_H表示豪斯多夫维数，\mathcal{H}^1表示1维豪斯多夫测度。则\mathcal{H}^1(K)=0蕴含\gamma(K)=0，而\dim_H(K)>1保证了\gamma(K)>0。然而，\dim_H(K)=1

与\mathcal{H}^1(K) > 0的情况要复杂得多。

长度大于0而解析容度等于0的例子
之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想\gamma(K)=0蕴含\mathcal{H}^1(K)=0。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下：

设K_0:=[0,1]\times[0,1]是单位正方形。然后K_1是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于K_0的四个角。以此类推，K_n是4^n个边长为4^{-n}的正方形（记做Q_n^j）的并，每个Q_n^j位于某个Q_{n-1}^k的一角。令K是所有K_n的交，则\mathcal{H}^1(K)=\sqrt 2，但是\gamma(K)=0。

Vitushkin猜想
设K \subset \mathbb{C}是紧集，Vitushkin猜想叙述为

\gamma(K)\iff\int_0^\pi{\mathcal{H}^1(\operatorname{proj}_\theta{K})d\theta}=0

其中\operatorname{proj}_\theta(x,y):=x\cos\theta+y\sin\theta表示在方向\theta 上的正交投影。根据上面的结果，当\dim_H(K) \neq 1时，Vitushkin猜想为真。

Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在\dim_H(K)=1且\mathcal{H}^1(K) 的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数C>0使得对紧集K=\bigcup_{i=1}^\infty{K_i}（其中K_i是博雷尔集），\gamma(K) \le C\sum_{i=1}^\infty{\gamma(K_i)}

David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于\mathcal{H}^1是σ有限的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是\mathcal{H}^1σ有限的1维的K，这个猜想仍然有待解决。

参考资料

• Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
• Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
• J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
• G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
• Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
• Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.