在数学中，二次变差（）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。
定义
设X_t是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做[X]_t，定义为
[X]_t=\lim_{\|P\|\to 0}{\sum_{k=1}^n{(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2}}
其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数\|P\|等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。
更一般地，两个过程X和Y的协变差（或称互变差）为
[X,Y]_t=\lim_{\|P\|\to 0}{\sum_{k=1}^n{(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_k}-Y_{t_{k-1}})}}
用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来
[X,Y]_t=\frac 12([X+Y]_t-[X]_t-[Y]_t)
有限变差过程
随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是有限变差的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。
这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为X_{t^-}，X在t处的跳跃记为\Delta X_t=X_t-X_{t^-}。则二次变差为
[X]_t=\sum_{0
要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分，V_t(X)
是X在[0,t]上的变差。
\begin{align} \sum_{k=1}^n{(X_{t_k}-X_{t_{k-1}})^2} &\le \max_{k\le n}\sum_{k=1}^n
\\ & \le \max_V_t(X) \\ \end{align}
由X的连续性，这在\|P\|趋于0时的极限也趋于0。
伊藤过程
标准布朗运动的二次变差存在，为[B]_t=t
。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为
\begin{align} X_t &= X_0+\int_0^t{\sigma_s dB_s}+\int_0^t{\mu_s d[B]_s}
\\ & = X_0+\int_0^t{\sigma_s dB_s}+\int_0^t{\mu_sds} \\ \end{align}
其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为
[X]_t=\int_0^t{\sigma_s^2ds}
半鞅
可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中
X_tY_t=X_0Y_0+\int_0^t{X_{s^-}dY_s}+\int_0^t{Y_{s^-}dX_s}+[X,Y]_t
这可用来计算[X,Y]。
上式也可写成随机微分方程的形式：
dX_tY_t = X_{t^-}dY_t+Y_{t^-}dX_t+dX_tdY_t
其中
dX_tdY_t=d[X,Y]_t
鞅
右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值
\Delta[M] = \Delta M^2
，使得
M^2-[M]
是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。
平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差
\mathbb{E}\left(\int_0^t{HdM}\right)^2 = \mathbb{E}\int_0^t{H^2d[M]}
只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。
还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为
M_t^* \equiv \sup_{s\le t}
，对任意实数
p\ge 1
c_p\mathbb{E}[M]_t^{p/2}\le\mathbb{E}(M_t^*)^p\le C_p\mathbb{E}[M]_t^{p/2}
式中
c_p\le C_p
是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。
另一种变差，可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅，记做
\langle M\rangle_t
，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得
M^2-\langle M\rangle
是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。
另见
- 总变差
- 有界变差
参考资料
- Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7
- Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.
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