在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示，在部分較舊的文獻中有時會以\mathfrak{Sin}表示。
定義
雙曲正弦一般計為\sinh（有時會簡寫為\operatorname{sh}），其在複變分析中定義為:。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的
在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。
*雙曲正弦是一個奇函數。
*在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間\left [ -\infty,0 \right ]上是凹函數、在區間\left [ 0,+\infty \right ]上是凸函數。
:\mathrm e^z=\cosh z+\sinh z
:\mathrm e^{-z}=\cosh z-\sinh z
其與經典的歐拉公式類似。
當x\in\R時，有以下恆等式:
:\sinh(\mathrm ix)=\frac{\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm e^{-\mathrm ix}}2=\mathrm i\sin(x)
:\sinh(x)=-\mathrm i\sin(\mathrm ix)：
- \sinh(0)=0
- \sinh(1)=\frac{\mathrm e^2-1}{2\mathrm e}
- \sinh(\mathrm i)=\mathrm i\sin(1)
- \sinh(\ln \varphi)=\frac{1}{2}
其中\varphi為黃金比例
參見
*正弦
參考文獻
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