等M圓及等N圓

等M圓及等N圓（M-circles and N-circles）英文也稱為是Hall circles，是控制理论中利用開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖（或尼柯尔斯图）來求得其閉迴路傳遞函數數值的繪圖工具。此作法最早是由Albert C. Hall在其控制理論的論文中提出。

建構方式
考慮閉迴路線性控制系統，其開迴路傳遞函數為G(s)，反饋路徑的增益為1。其閉迴路傳遞函數為 T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)} 。

若要確認T(s)的穩定性，可以用開迴路傳遞函數G(s)的奈奎斯特圖配合奈奎斯特稳定判据來確認。不過若只靠奈奎斯特圖，無法知道T(s)的數值。為了要在G(s)平面上得到這些資訊，Hall在G(s)平面加上了使T(s)有固定大小以及有固定相位的二組曲線。

假設一正值M表示固定的大小，令G(s)為z，滿足 M = |T(s)| = \frac = \frac 的點是那些在G(s)平面上和0的距離以及和-1的距離比例為M倍的點。這些符合條件的點z的軌跡為，在控制系統中稱為等M圖。

若假設一正值N表示相位角，滿足 N = \arg \left[\frac{G(s)}{1+G(s)}\right] = \arg[G(s)] - \arg[1+G(s)] = \arg[z] - \arg[1+z] 的點。滿足此條件的點z的軌跡為圓弧，在控制系統中稱為等N圖。
用法
若要使用此方法，會在開迴路傳遞函數的奈奎斯特圖上重疊不同數值的等M圓及等N圓，根據傳遞函數和等M圓及等N圓的交點即知道閉迴路傳遞函數的大小及相位。

等M圓及等N圓也可以和尼柯尔斯图一起使用，不過等M圓及等N圓會進行坐標轉換，其縱軸會是 20 \log_{10}(|G(s)|) ，橫軸是 \arg(G(s))。尼柯尔斯图的好處是調整開迴路傳遞函數時，只要將曲線往上移即可。

相關條目

• 奈奎斯特圖
• 尼柯尔斯图

參考資料
*
*