在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp(2n, F)
域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群，記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。

當n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，當n>1時，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常將域F取為實數域\mathbb{R}、複數域\mathbb{C}或非阿基米德局部域，如p進數域\mathbb{Q}_p。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於n(2n+1)的連通代數群。\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})是單連通的，而\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})的基本群則同構於\mathbb{Z}。

\mathrm{Sp}(2n,F)的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣A：
:\Omega A + A^T \Omega = 0
其中A^T表示A的轉置矩陣，而\Omega是下述反對稱矩陣
:\Omega =
\begin{pmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{pmatrix}

Sp(n)
緊辛群 \mathrm{Sp}(n) 定義為 \mathrm{H}^n（\mathbb{H}表四元數）上保持標準埃爾米特形式
:\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n
之可逆線性變換。換言之，\mathrm{Sp}(n) 即四元數上的酉群\mathrm{U}(n,\mathbb{H})。有時此群也被稱為超酉群。\mathrm{Sp}(1) 即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球 \mathbb{S}^3。

\mathrm{Sp}(n) 並不同構於之前定義的 \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})。下節將解釋其間的聯繫。

\mathrm{Sp}(n) 是 n(2n+1) 維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

:Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb{C})

其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成
:A+A^{\dagger} = 0
其中 A^\dagger 是 A 的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

緊辛群 \mathrm{Sp}(n) 有时称为酉辛群，记为 \mathrm{USp}(2n)

辛群之間的關係
以上定義之\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})與\mathrm{Sp}(n)之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作C_n。此李代數也就是複李群\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{C})之李代數，記作\mathrm{sp}(2n,\mathbb{C})。它有兩個不同的實形式：

緊緻形式\mathrm{sp}(n)，即\mathrm{Sp}(n)之李代數。

正規形式\mathrm{sp}(2n,\mathbb{R})，即\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})。

參見

• 正交群
• 酉群
• 射影酉群
• 辛流形、辛矩阵、辛向量空间、扭對稱符號
• 哈密顿力学