罗伊恒等式

罗伊恒等式（）是微观经济学中的一项重要结果，在生产者理论和消费者理论中都有应用。

具体表述
设消费者的间接效用函数为v(\mathbf{p}, w)，则商品i的马歇尔需求函数即为
:x_i^m = -\frac{\partial v / \partial p_i}{\partial v / \partial w}，
其中\mathbf{p}为各商品的价格向量，w为收入。

证明
根据定义，间接效用函数满足约束条件\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} = w下的最大值v(\mathbf{p}, w) = \max_{\mathbf{x}}u(\mathbf{x})。因此由带约束的包络定理立即得到
:\frac{\partial v}{\partial \mathbf{p}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{p}} = -\lambda \mathbf{x}，
其中\mathcal{L} = u(\mathbf{x}) - \lambda(\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} - w)为拉格朗日乘數，由其表达式可得\lambda = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w} = \frac{\partial v}{\partial w}，代入上式即得证。

參見
*薛福輔理

参考文献