索末菲恒等式

索末菲恒等式 是由阿诺德索末菲提出的一个数学恒等式，该恒等式用于波传播理论中，

:
\frac{{e^{ik R} }}
{R} = \int\limits_0^\infty I_0(\lambda r) e^{ - \mu \left| z \right| } \frac

其中

:
\mu =
\sqrt {\lambda ^2 - k^2 }

取正实数部分，以确保积分收敛和  z \rightarrow \pm \infty

:
R^2=r^2+z^2
。

R 表示到原点的距离，同时 r是(r,\phi,z) 柱坐标系统中到圆柱中心轴的距离。 这里贝塞尔函数的符号遵循德国惯例，与索末菲使用的原始符号一致。I_0(z)第一类零阶贝塞尔函数，在英文文献中通常标记为I_0(z)=J_0(iz) 。
。

索末菲恒等式可以更容易地看作是球面波特别是圆柱对称波的扩展，

:
\frac{{e^{ik_0 r} }}
{r} = i\int\limits_0^\infty {dk_\rho \frac
J_0 (k_\rho \rho )e^{ik_z \left| z \right|} }

其中

:
k_z=(k_0^2-k_\rho^2)^{1/2}

. 这里使用的符号不同于上面： 这里的r 是圆柱坐标系中的径向距离。 其物理解释是球面波可以扩展成为\rho方向上柱面波的总和，乘以 z 方向上双面平面波，参见 。 必须对所有波数 k_\rho求和。

索末菲恒等式与柱对称的二维 傅里叶变换密切相关，即汉克尔变换。 它是通过改变沿面坐标(x,y, 或 \rho, \phi)的球面波，但不改变沿高度坐标z得到的。

参考文献