卡爾曼分解

卡爾曼分解（Kalman decomposition）是控制理论中的數學工具，可以將线性时不变（LTI）控制系統轉變為可以清楚區分系統可觀測及可控制成份的系統。分解後的系統會有更清楚的結構，更容易可以對系統及可觀測子空間的特性下結論。

符號
推導方式在離散時間系統及連續時間系統都是一様的。連續時間線性系統可以表示如下：

: \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)
: \, y(t) = Cx(t) + Du(t)

其中
: \, x為狀態向量
: \, y為輸出向量
: \, u為輸入（或控制）向量
: \, A為狀態矩陣
: \, B為輸入矩陣
: \, C為輸出矩陣
: \, D為前饋矩陣

而離散時間線性系統可以表示如下：

: \, x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)
: \, y(k) = Cx(k) + Du(k)

各向量及矩陣的意思如上。因此，系統可以表示為包括四個矩陣的數組\, (A, B, C, D)。
令系統的階數為\, n。

卡爾曼分解定義為將矩陣數組\, (A, B, C, D)轉換為矩陣數組\, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D})，且後者有以下的特性：

: \, {\hat{A}} = {T^{-1}}AT
: \, {\hat{B}} = {T^{-1}}B
: \, {\hat{C}} = CT
: \, {\hat{D}} = D

\, T為\, n \times n的可逆矩陣，可以定義為

: \, T = \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

其中

• \, T_{r\overline{o}}的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）會生成可到達，不可觀察的狀態子空間。
• 選擇\, T_{ro} ，使得\, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro}\end{bmatrix}的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是可到達子空間的基底。
• 選擇\, T_{\overline{ro}} ，使得\, \begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{\overline{ro}}\end{bmatrix}的各-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-（column）是不可觀察子空間的基底。
• 選擇\, T_{\overline{r}o} ，使得\,\begin{bmatrix} T_{r\overline{o}} & T_{ro} & T_{\overline{ro}} & T_{\overline{r}o}\end{bmatrix}可逆。

依上述的建構方式，矩陣\, T可逆。可以觀察到其中有些矩陣可能會是零維度。例如，若系統有時有可觀察性及可控制性，則\, T = T_{ro}，其他的矩陣都是零維。

標準型
利用可控制性及可觀察性的結果，可以證明轉換後的系統\, (\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \hat{D})有以下形式的矩陣：

: \, \hat{A} = \begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\
0 & A_{ro} & 0 & A_{24} \\
0 & 0 & A_{\overline{ro}} & A_{34}\\
0 & 0 & 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

: \, \hat{B} = \begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro} \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}

: \, \hat{C} = \begin{bmatrix}0 & C_{ro} & 0 & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}

: \, \hat{D} = D

因此可得以下結論

• 子系統\, (A_{ro}, B_{ro}, C_{ro}, D)具有可到達性及可觀察性。
• 子系統\, \left(\begin{bmatrix}A_{r\overline{o}} & A_{12}\\ 0 & A_{ro}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B_{r\overline{o}} \\ B_{ro}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & C_{ro}\end{bmatrix}, D\right)有可到達性。
• 子系統\, \left(\begin{bmatrix}A_{ro} & A_{24}\\ 0 & A_{\overline{r}o}\end{bmatrix},\begin{bmatrix}B_{ro} \\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}C_{ro} & C_{\overline{r}o}\end{bmatrix}, D\right)有可觀察性。

相關條目

• 可觀測性
• 可控制性

外部連結
*[https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-241j-dynamic-systems-and-control-spring-2011/readings/MIT6_241JS11_chap25.pdf Lectures on Dynamic Systems and Control, Lecture 25] - Mohammed Dahleh, Munther Dahleh, George Verghese — MIT OpenCourseWare