{{Probability distribution
| name = 康托爾
| type = 質量
| cdf_image =|
| parameters = 無
| support = 康托爾集
| pdf = 無
| cdf = 康托爾函數
| mean = 1/2
| median = 在 [1/3, 2/3] 間的任何數
| mode = n/a
| variance = 1/8
| skewness = 0
| kurtosis = −8/5
| entropy =
| mgf = e^{t/2} \prod_{k=1}^\infty \cosh\left(\frac{t}{3^k}\right)
| char = e^{it/2} \prod_{k=1}^\infty \cos\left(\frac{t}{3^k}\right)
}}
康托尔分布（）是一种累积分布函数是康托尔函数的概率分布。
该分布即没有概率密度函数，也没有概率质量函数，因为虽然其累积分布函数是一个连续函数，但其分布在勒贝格测度意义下既不是绝对连续的，也没有任何点质量。 因此它既不离散的概率分布，也不是一个绝对连续的概率分布，同时不是这两个混合的概率分布。相反，它是一个的例子。
其累积分布函数是处处连续的，但也几乎处处水平，所以有时被称为，虽然这个用语有更广泛的意义。
特征
康托尔分布的基础是康托集，本身是多个可数无限集的交:
:
\begin{align}
C_0 = {} & [0,1] \\[8pt]
C_1 = {} & [0,1/3]\cup[2/3,1] \\[8pt]
C_2 = {} & [0,1/9]\cup[2/9,1/3]\cup[2/3,7/9]\cup[8/9,1] \\[8pt]
C_3 = {} & [0,1/27]\cup[2/27,1/9]\cup[2/9,7/27]\cup[8/27,1/3]\cup \\[4pt]
{} & [2/3,19/27]\cup[20/27,7/9]\cup[8/9,25/27]\cup[26/27,1] \\[8pt]
C_4 = {} & [0,1/81]\cup[2/81,1/27]\cup[2/27,7/81]\cup[8/81,1/9]\cup[2/9,19/81]\cup[20/81,7/27]\cup \\[4pt]
& [8/27,25/81]\cup[26/81,1/3]\cup[2/3,55/81]\cup[56/81,19/27]\cup[20/27,61/81]\cup \\[4pt]
& [62/81,21/27]\cup[8/9,73/81]\cup[74/81,25/27]\cup[26/27,79/81]\cup[80/81,1] \\[8pt]
C_5 = {} & \cdots
\end{align}
康托尔分布对任何 Ct (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) 中 2t 个包含康托尔分布随机变量的特定区间，都有独特的概率 2-t.
矩
通过对称性很容易看出，具有这样分布的一个随机变量 X，其期望值 E(X) = 1/2，且所有 X 的奇数阶中心矩都是 0。
方差 var(X) 可由求得。具体操作如下：对上述集合 C1，如果 X ∈ [0,1/3] 则令 Y = 0，如果 X ∈ [的2/3，1]，令 Y = 1。然后有
:
\begin{align}
\operatorname{var}(X) & = \operatorname{E}(\operatorname{var}(X\mid Y)) +
\operatorname{var}(\operatorname{E}(X\mid Y)) \\
& = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) +
\operatorname{var}
\left\{
\begin{matrix} 1/6 & \mbox{with probability}\ 1/2 \\
5/6 & \mbox{with probability}\ 1/2
\end{matrix}
\right\} \\
& = \frac{1}{9}\operatorname{var}(X) + \frac{1}{9}
\end{align}
从而我们得到：
:\operatorname{var}(X)=\frac{1}{8}.
任意偶数阶中心矩的封闭表达式可由：先获得偶数项累积量[http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/RandomWalks.pdf]
:
\kappa_{2n} = \frac{2^{2n-1} (2^{2n}-1) B_{2n}}
{n\, (3^{2n}-1)}, \,\!
其中 B2n 是 第2n 个 伯努利数，然后用该累积量的方程作为矩的表达。
参考文献
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- (Reprinted by Dover Publications, Mineola, NY.
外部链接
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