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量子力学

Wikipedia · 2026-07-17 维基百科 👁 1 阅读

在不同能階的波函數。 量子力學無法預測粒子在空間中的確切位置，只能預測在不同位置找到它的機率 。較亮的區域代表找到電子的機率較高。]]

，此次會議主題為「電子和光子」，世界上最主要的物理學家聚集在一起討論新近表述的量子理論]]

量子力学（）是物理學的分支學科。它描述原子尺度及原子尺度以下的自然行為。 它是所有量子物理學的基礎，包括量子化學、量子場論、量子技術和量子信息科学。

量子力学与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱。19世紀末，人們發現舊有的經典理論無法解釋微观系统，於是經由物理學家的努力，在20世紀初創立量子力学，解釋了這些現象。量子力學從根本上改變人類對物質結構及其相互作用的理解。除了透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。

量子理论的重要应用包括宇宙學、量子化学、量子光学、量子计算、超导磁体、发光二极管、激光器、晶体管和半导体如微处理器等。

愛因斯坦可能是在科學文獻中最先給出術語「量子力學」的物理學者。，马克斯·普朗克在柏林科學院發表報告，通過將維恩定律加以改良，又將波茲曼熵公式重新詮釋，他得出了一个与实验数据完全吻合的普朗克公式来描述黑体辐射，但是在诠释这个公式时，他将在物体裡發射與吸收輻射的原子視為微小的量子谐振子，且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，是离散的數值，而且單獨量子谐振子吸收和發射的辐射能是量子化的。

光电效应
海因里希·赫兹於1887年实验发现，如果照射紫外光於金属表面，則电子會從金属表面被發射出来，他因此發現了光電效應。1905年，阿爾伯特·爱因斯坦提出了光量子的理论来解释这个现象。他認為，光束是由一群離散的光量子所組成，而不是連續性波動。這些光量子現今被稱為光子，其能量E为
:E=h\nu

这裡，\nu 是頻率，h 為普朗克常數。

爱因斯坦大胆地预言，假若光子的频率高于金属的极限频率，则这光子可以给予足够能量来使得金属表面的一个电子逃逸，造成光电效应。电子获得的能量中，一部分被用来将金属中的电子射出，这部分能量叫逸出功，（用E_{\mbox{w}}表示），另一部分成為了逃逸电子的動能：
:h\nu=E_{\mbox{w}}+\frac{1}{2}mv^2

这裡 m 是电子的质量，v 是其速度。

假若光的频率低於金屬的極限頻率，那么它无法使得电子获得足够的逸出功。这时，不论輻照度有多大，照射時間有多長，都不會發生光電效應。而当入射光的頻率高於極限頻率時，即使光不夠強，當它射到金屬表面時也會觀察到光電子發射。羅伯特·密立根後來的實驗證明這些理論與預言屬實。

爱因斯坦將普朗克的量子理论加以延伸擴展，他提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。]]
20世纪初，卢瑟福模型被公认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。

但是这个模型有两个问题无法解决。首先，按照經典电磁学，这个模型不稳定，由於电子不断地在它的运转过程中被加速，它应该會通过發射电磁波丧失能量，这样它很快就会坠入原子核。其次，实验结果显示，原子的发射光谱是由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱是由一个紫外线系列（來曼系）、一个可见光系列（巴耳麥系）和其它的红外线系列组成；而按照經典理论原子的发射谱应该是连续的。

1913年，尼尔斯·玻尔提出了玻尔模型，这个模型引入量子化的概念來解釋原子结构和光谱线。玻尔认为，电子只能在对应某些特定能量值E_n的轨道上运動。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道（E_n），躍遷到一个能量比较低的轨道（E_m）上时，它发射的光的频率为
:\nu=\frac{E_n-E_m}{h}
反之，通过吸收同样频率的光子，电子可以从低能的轨道，躍遷到高能的轨道上。

玻尔模型可以解释氢原子的结构。改善的玻尔模型，还可以解释類氫原子的結構，即 He+, Li2+, Be3+ 等。但它还不够完善，仍然无法准确地解释其它原子的物理现象。

物质波
1924年，路易·德布罗意發表博士論文提出，粒子拥有波动性，其波长\lambda_{Broglie}与动量p成反比，以方程式表示為
:\lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}。

這理論稱為德布羅意假說，又稱為物質波假說。這意味著電子不但具有粒子性，還具有波動性。

1927年，克林顿·戴维森與雷斯特·革末做實驗將低能量電子入射於鎳晶體，然後測量對於每一個角度的散射強度。從分析實驗數據，他們發現，假設加速電勢為5.4eV，則在50°之處會出現強勁反射，符合威廉·布拉格於1913年所提出的 X射線繞射性質。這驚人的結果證實電子是一種物質波，也證實了物質波假說。這實驗就是著名的戴維森－革末實驗。如右图所示，

  • 打在屏幕上的电子是点状的，这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。
  • 电子打在屏幕上的位置，有一定的分布概率，随时间可以看出双缝衍射所特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话，所形成的图像是单缝特有的波的分布概率。

在图中的实验裡，电子源的强度非常低，所發射出的電子與電子之間的距離約為150km，任意兩個電子同時存在於電子發射器與探測屏之間的概率微乎其微。显然可以推斷，單獨电子同时通过了两條狹缝，自己與自己發生干涉，从而出現这个干涉圖樣。对于經典物理学来说，这个解释非常奇怪。从量子力学的角度来看，电子的分布概率可以用两个分別通过两條狹縫的量子态疊加在一起來解釋。这个实验非常具有信服力地展示出電子的波動性。

基礎公設
整個量子力学的数学理论可以建立於五个基礎公設(postulate)。這些公設不能被嚴格推導出來，而是從實驗結果仔細分析归纳总结而得到的。從這五個公設，可以推導出整個量子力學。假若量子力學的理論結果不符合實驗結果，則必須將這些基礎公設加以修改，直到沒有任何不符合之處。至今為止，量子力學已被實驗核對至極高準確度，還沒有找到任何與理論不符合的實驗結果，雖然有些理論很難直覺地用經典物理的概念來理解，例如，波粒二象性、量子糾纏等等。

量子態公設：量子系统在任意时刻的状态（量子態）可以由希尔伯特空间 \mathcal{H} 中的態矢量 |\psi\rangle 来設定，這態矢量完備地給出了這量子系統的所有信息。這公設意味著量子系統遵守态叠加原理，假若|\psi_1\rangle、|\psi_2\rangle屬於希尔伯特空间\mathcal{H}，則c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle也屬於希尔伯特空间\mathcal{H}，其中c_1和c_2皆為常數。

#時間演化公設： 态矢量為 |\psi(t)\rangle 的量子系統，其动力学演化可以用薛定谔方程表示，i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle ；其中，哈密顿算符 \hat{H} 对应於量子系统的总能量，\hbar是約化普朗克常數。根據薛定谔方程，假設時間從t_0流动到t，則態向量從|\psi(t_0)\rangle演化到 |\psi(t)\rangle ，這過程以方程式表示為|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t, t_0) |\psi(t_0)\rangle ；其中，\hat{U}(t, t_0)= e^{-i\hat{H}(t-t_0) / \hbar} 是時間演化算符。

#可觀察量公設：每個可观察量 A 都有其對應的厄米算符 \hat{A} ，而算符\hat{A}的所有本徵矢量共同組成一個完備基底。
#塌縮公設：對於量子系統測量某個可觀察量 A ，這動作可以數學表示為將其對應的厄米算符\hat{A} 作用於量子系統的態矢量 |\psi\rangle ，測量值只能為厄米算符\hat{A} 的本徵值。在測量後，假設測量值為a_i，則量子系統的量子態立刻會塌縮為對應於本徵值a_i的本徵態 |e_i\rangle 。
#波恩公設：對於這測量，獲得本徵值 a_i 的概率為量子態|\psi\rangle處於本徵態|e_i\rangle的概率幅的絕對值平方。

量子態與量子算符
儀器的磁場方向為z-軸，入射的銀原子束可以被分裂成兩道銀原子束，每一道銀原子束代表一種量子態，上旋\left\vert \uparrow \right\rangle或下旋\left\vert \downarrow \right\rangle。]]

量子態指的是量子系統的狀態，態向量可以用來抽象地表現量子態。採用狄拉克標記，態向量表示為右矢\left\vert \psi \right\rangle；其中，在符號內部的希臘字母\psi可以是任何符號，字母，數字，或單字。例如，沿著磁場方向測量電子的自旋，得到的結果可以是上旋或是下旋，分別標記為\left\vert \uparrow \right\rangle或\left\vert \downarrow \right\rangle。

對量子態做操作定義，量子態可以從一系列製備程序來辨認，即這程序所製成的量子系統擁有這量子態。例如，使用斯特恩-革拉赫實驗儀器，設定磁場朝著z-軸方向，如右圖所示，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量分裂成兩道，一道為上旋，量子態為\left\vert \uparrow \right\rangle，另一道為下旋，量子態為\left\vert \downarrow \right\rangle，這樣，可以製備成量子態為\left\vert \uparrow \right\rangle的銀原子束，或量子態為\left\vert \downarrow \right\rangle的銀原子束。原本銀原子束的態向量可以按照態疊加原理表示為

怎樣才能正確地理論描述對於一个可观察量的测量？設定一个量子系统的量子态，首先，將量子態分解为该可观察量的一组本征态的线性组合。测量过程可以視為對於本征态的一个投影，测量结果是被投影的本征态的本征值。假設，按照某種程序製備出一個系綜，在這系綜裏，每一個量子態都與這量子態相同，現在對於這系綜裏的每一個量子態都進行一次測量，則可以获得所有可能的测量值（本徵值）的机率分布，每个测量值的概率等於量子態處於對應的本征态的概率幅的绝对值平方。以方程式表示為
: \Delta P \Delta X \approx h/2。

全同粒子
裏，兩個全同費米子的反對稱性波函數繪圖。{{efn|1=反對稱性波函數為 [\sin(x)\sin(3y)-\sin(3x)\sin(y)]/\sqrt{2},\qquad 0\le x,y \le \pi 。注意到在 x=y 附近，概率幅絕對值很微小，兩個費米子趨向於彼此互相遠離對方。}}]]
裏，兩個全同玻色子的對稱波函數繪圖。{{efn|1=對稱性波函數為 -[\sin(x)\sin(3y)+\sin(3x)\sin(y)]/\sqrt{2},\qquad 0\le x,y \le \pi 。注意到在 x=y 附近，概率幅絕對值較大，兩個玻色子趨向於彼此互相接近對方。}}]]

粒子具有很多種物理性質，例如質量、電荷、自旋等等。假若兩個粒子具有不同的性質，則可以藉著測量這些不同的性質來區分這兩個粒子。根據許多實驗獲得的結果，同種類的粒子具有完全相同的性質，例如，宇宙裏所有的電子都帶有相等數量的電荷。因此，無法依靠物理性質來區分同種類的粒子，必須使用另一種區分法，即跟蹤每一個粒子的軌道。只要能夠無限精確地測量出每一個粒子的位置，就不會搞不清楚哪一個粒子在哪裡。這個適用於經典力學的方法有一個問題，那就是它與量子力學的基本原理相矛盾。根據量子理論，在位置測量期間，粒子不會保持明確的位置。粒子的位置具有概率性。隨著時間的流易，幾個粒子的量子態可能會移動蔓延，因此某些部分會互相重疊在一起。假若發生重疊事件，给每个粒子“挂上一个标签”的方法立刻失去了意义，就無法區分在重疊區域的兩個粒子。这个问题的另一个例子是由薛定谔提出的薛定谔猫的思想实验。

对于量子计算机来说，量子退相干也有实际意义。在一台量子计算机中，需要多个量子状态尽可能地长时间保持叠加。退相干时间短是一个非常大的技术问题，因為它會削弱量子疊加效應，但它也是一個必需的因素，因為儲存在計算機內的數據必需經過量子測量被讀出來。

与其它物理理论的关系
經典物理
量子力學的預測已被實驗核對至極高準確度，是在科學領域中，最為準確的理論之一。

对应原理對於建立一个有效的量子力学模型是很重要的辅助工具。量子力学的数学基础相當廣泛寬鬆，它僅只要求量子系統的態向量屬於希尔伯特空间，其可观察量是线性的厄米算符，它并没有规定在实际情况下，应该选择哪一种希尔伯特空间、哪些厄米算符。因此，在实际情况下，必须选择相应的希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统。而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。这个原理要求量子力学所做出的预言，在越来越大的系统中，逐渐近似經典理论的预言。这个大系统的极限，被称为“經典极限”或者“对应极限”。因此可以使用启发法的手段，来建立一个量子力学的模型，而这个模型的极限，就是相应的經典物理学的模型。

在經典系統與量子系統之間，量子相干是一種很明顯可以用來區分的性質，具有量子相干性的電子、光子等等微觀粒子可以處於量子疊加態，不具有量子相干性的棒球、老虎等等宏觀系統不可以處於量子疊加態。量子退相干可以用來解釋這些行為。一種應用這性質來區分的工具是貝爾不等式，遭到量子糾纏的系統不遵守貝爾不等式，而量子退相干能夠將量子糾纏性質變換為經典統計性質，系統的物理行為因此可以用隱變數理論解釋，不再不遵守貝爾不等式。簡略而言，量子干涉是將幾個量子態的量子幅總和在一起，而經典干涉則是將幾個經典波動的波強總和在一起。對於微觀物體，整個系統的延伸尺寸超小於相干長度，因此會產生長程量子糾纏與其它非定域現象，一些量子系統的特徵行為。通常，量子相干不會出現於宏觀系統。

狹義相对论
原本量子力學的表述所針對的模型，其對應極限為非相對論性古典力學。例如，眾所皆知的量子諧振子模型使用了非相對論性表達式來表達其動能，因此，這模型是古典諧振子的量子版本。

對於描述电磁系统，時常不需要使用到量子场论的全部功能。比较简单的方法，是将带电粒子当作处於經典电磁场中的量子力学物体。这个手段从量子力学的初期，就已经被使用了。比如说，氢原子的电子状态，可以近似地使用經典的 1/r 庫侖勢来计算。这就是所谓的半經典方法。但是，在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况下（比如带电粒子发射一颗光子）这个近似方法就失效了。

哲学观点
量子力学是經歷最严格验证的物理理论之一。至今为止，尚未找到任何能夠推翻量子力学的实验数据。大多数物理学者认为，“几乎”在所有情况下，它正确地描写能量和物质的物理性质。虽然如此，量子力学中，依然存在着概念上的弱点和缺陷，除前面所述關於万有引力的量子理论的缺乏以外，現今，对於量子力学的詮释依然存在着嚴重争议。史蒂文·溫伯格承認：「依照我現在的看法，完全令人滿意的量子力學詮釋不存在。」

雖然在發表後已經過七十幾年光陰，哥本哈根詮釋仍舊是最為物理學者接受的對於量子力學的一種詮釋。它的主要貢獻者是尼尔斯·玻尔與沃纳·海森堡。根據這種詮釋，量子力學的概率性論述不是一種暫時補丁，而且最終將會被一種命定性理論取代，它必須被視為一種最終拋棄經典因果論思維的動作。在這裡，任何量子力學形式論的良好定義的應用必須將實驗設置納入考量，這是因為不同實驗狀況獲得的結果所具有的互補性。為此，完成了很多相關實驗，這些實驗確定量子力學的預言正確無誤，定域實在論無法描述量子世界。

休·艾弗雷特三世提出的多世界诠释认为，量子理论所做出的可能性的预言，全部會同步实现，这些现实成为彼此之间毫無關聯的平行宇宙。在这種诠释裏，波函数不塌缩，它的发展是决定性的。但是由於隻身观察者无法存在於所有的平行宇宙裏，只能观察在身處的宇宙內發生的事件，而無法觀察到其它平行宇宙內發生的事件。这種诠释不需要特殊處理测量動作。在这理论裏，薛定谔方程無論何處無論何時都成立。對於任何測量動作，必須將整個系統，測量儀器與被測量物體，全部納入薛定谔方程的運算。測量儀器與被測量物體所有可能的量子態都存在於一種真實的量子疊加，形成了糾纏態。雖然平行宇宙具有命定性，觀察者意識到由概率主導的非命定行為，因為觀察者只能觀察到自身所在的宇宙。多世界诠释能夠透過貝爾的檢試實驗。近期研究發展將多世界诠释與量子退相干理論合併在一起來解釋主觀的波函數塌縮。由於量子退相干機制，糾纏態會快速地演化為經典混合態。

戴维·玻姆提出了一種非定域性的隱變量理論，稱為導航波理論。在这種詮释裏，波函数被理解为粒子的一个導航波。从结果上，这个理论预言的实验结果，与非相对论哥本哈根诠释的预言完全一样，因此，使用实验手段无法鉴别这两个解释。虽然这个理论的预言是命定性的，但是由於不确定原理无法推测出隐变量的精确状态，其结果跟哥本哈根诠释的結果一样，使用導航波理論来解释，实验的结果具有概率性。至今为止，还不能确定这个解释是否能够扩展到相对论量子力学上去。路易·德布罗意和其他人也提出过类似的隐变量解释。

应用
在许多现代技术装备中，量子效应起了重要的作用，例如，激光的工作機制是愛因斯坦提出的受激發射、电子显微镜利用電子的波粒二象性來增加解析度、原子钟使用束縛於原子的電子從一個能級躍遷至另一個能級時所發射出的微波信號的頻率來計算與維持時間的準確性、核磁共振成像倚賴核磁共振機制來探測物體內部的結構。对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明，這些都是現代電子系統與電子器件不可或缺的元件。。现代计算机的基础，微处理器，由上亿个半导体晶体管集成，且随着晶体管数量的增加，晶体管中的量子效应越来越明显。量子力学对于解释和模拟半导体器件中的电学、光学、热学性质等尤其重要。

超导电子器件也与量子力学有着密切的关系。

计算机
相比于晶体管等电子器件，量子计算机的研制则更为前沿。在一些特定算法下，量子计算机的速度会比经典架构的计算机快成千上万倍（比如量子退火算法）。经典计算机使用0和1作为比特，而量子计算机则使用量子位作为基本单位。量子位由不同的电子态叠加形成。即使將圖像放大，誤差範圍也極小，無法由理論曲線中分辨觀測數據。]]

量子力學能夠用來解釋很多奇異的宇宙現象，例如，宇宙微波背景的頻譜可以用普朗克黑體輻射定律來解釋。宇宙微波背景證實了大爆炸理論的正確無誤，自此，穩態理論開始式微。從宇宙微波背景可以推論，早期宇宙非常炙熱、對於電磁輻射不透明、具有均質性與各向同性，是標準的黑體。

在恆星的生命終點，當所有核燃料都已用盡，恆星會開始引力坍缩的過程，最終可能變為白矮星、中子星或黑洞。這是因為包立不相容原理的作用。由於電子遵守包立不相容原理，因此在坍缩時，假若電子簡併壓力能夠克服引力，就會形成白矮星，否則會繼續坍缩，由於中子也遵守包立不相容原理，這時假若中子簡併壓力能夠克服引力，則會形成中子星，否則就會坍缩成黑洞。

化学
任何物质的化学性質，均是由其原子或分子的电子结构所决定的。通过解析包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛定谔方程，可以计算出该原子或分子的电子结构。在实践中，人们认识到，要计算这样的方程实在太复杂，對於許多案例，必需使用简化的模型，找到可行的數學計算方法，才能夠找到近似的电子结构，從而确定物质的化学性質。。

量子力學可以詳細描述原子的電子結構與化學性質。對於只擁有一個束縛電子的氫原子，薛丁格方程式有解析解，可以計算出相關的能級與氫原子軌域，而且能級符合氫原子光譜實驗的數據，從每一種氫原子軌域可以得到對應的電子概率分佈。對於其它種原子（多電子原子），薛丁格方程式沒有解析解，只能得到近似解，可以計算出近似氫原子軌域的哈特里原子軌域，形狀相同，但尺寸與能級模式不一樣。使用哈特里原子軌域，可以解釋原子的電子結構與化學性質，週期表的元素排列。

信息学
目前的研究聚焦於找到可靠與能夠直接处理量子态的方法。量子系統擁有一種特性，即對於量子數據的測量會不可避免地改變數據，這種特性可以用來偵測出任何竊聽動作。倚賴這特性，量子密碼學能夠保證通信安全性，使得通信双方能够产生并分享一个随机的，安全的密钥，来加密和解密信息。比較遙遠的目標是發展出量子電腦。由於量子态具有量子叠加的特性，理论而言，量子電腦可以達成高度并行计算，其計算速度有可能以指數函數快過普通電腦。另外，應用量子纏結特性與經典通訊理論，量子遙傳能夠將物體的量子態從某個位置傳送至另一個位置。這是正在積極進行的一門學術領域。

参见

  • 狄拉克符号
  • 普朗克單位制
  • 相空间表述
  • 正規化
  • 雙態系統

註釋
参考文献
外部链接

;课程材料

;哲学
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#量子力学

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