單態射

在範疇論裡，一個態射被稱之為單態射，則該態射為一具左消去律的態射。亦即，給定一單態射 f:X\rightarrow Y，則對所有的態射g_1 , g_2: Z\rightarrow X，均能使得
: f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

單態射是單射函數（或稱為一對一函數）在範畤論裡的延伸。單態射的對偶概念為滿態射，後者為滿射函數的延伸。一態射於範疇 C 裡為單態射，則該態射於對偶範疇 C^{op} 裡為滿態射。

性質

• 具左反元素的態射必為一單態射。因為，如一態射 f 具有一左反元素 l（即 l 為一態射，且l \circ f = \operatorname{id}_{X}），則可知

: f \circ g_1 = f \circ g_2 \Rightarrow l\circ f\circ g_1 = l\circ f\circ g_2 \Rightarrow g_1 = g_2.

• 不是每一個單態射都會有左反元素。舉例來說，在由所有群所組成的範疇Group裡，如 H 是 G 的子群，則其包含映射 f:H\rightarrow G 總會是個單態射；但 f 於該範疇裡具有一左反元素，若且唯若 H 在 G 裡有一正規補群。

• 如態射 f 的左反元素為一態射 l ，則態射 f 為態射 l 的右反元素，並稱 f 為 l 的截面，l 為f 的收縮。每個截面都會是個單態射，且每個收縮都會是個滿態射。

• 一態射 f:X\rightarrow Y 為單態射，若且唯若對所有的 Z，定義一個映射 f_ : \hom(Z,X) \rightarrow \hom(Z,Y)， 使得對所有的態射h: Z\rightarrow X，f_ (h)=f\circ h，則其映射必為單射。

• 在具體範疇裡，每個為單射函數的態射均為單態射；換句話說，當態射實際上為集合間的函數時，一態射如為一對一函數，則該態射必為單態射。

• 在集合範疇裡，每個單態射也會是個單射態射。該敘述在大多數可於代數裡自然產生的範疇裡也都成立，如在由所有群組成的範疇、由所有環組成的範疇，及所有的阿貝爾範疇裡，每個單態射都會是個單射態射。

• 不是在所有的具體範疇裡，每個單態射都會是個單射態射。舉例來說，在由可除交換群所組成的範疇裡，其中即存在著為單態射，但不為單射態射的群同態，如商映射q: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}（其中的 \mathbb{Q} 為由有理數在加法運算下所組成的群，\mathbb{Z} 為由整數在加法運算下所組成的群，且 \mathbb{Q}/\mathbb{Z} 為其商群)不是單射（因為每個整數都會映射至0），但為單態射。

另見
*嵌入 (數學)
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參考資料
George Bergman (1998), [http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html An Invitation to General Algebra and Universal Constructions]*, Henry Helson Publisher, Berkeley. .
Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1*, Cambridge University Press. .
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*Jaap van Oosten, [http://www.math.uu.nl/people/jvoosten/syllabi/catsmoeder.pdf Basic Category Theory]