狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣（state-transition matrix）是控制理論中的矩陣，是時間t和初始時間t_0的函數，可以將時間t_0的狀態向量x和此矩陣相乘，得到時間t時的狀態向量x。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解（状态转移方程）。

線性系統的解
狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在状态空间下的解：
: \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) , \mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 ,
其中\mathbf{x}(t)為系統狀態，\mathbf{u}(t)為輸入信號，而\mathbf{x}_0為時間t_0時的初始條件。利用狀態轉移矩陣\mathbf{\Phi}(t, \tau)，其解如下：
: \mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau

第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。
Peano-Baker級數解
更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得
: \mathbf{\Phi}(t,\tau) = \mathbf{I} + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\int_\tau^{\sigma_2}\mathbf{A}(\sigma_3)\,d\sigma_3\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + ...
其中\mathbf{I}為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂。

\mathbf{\Phi}也有以下的性質：

:

若系統是时不变系统，可以將 \mathbf{\Phi}定義為

:\mathbf{\Phi}(t, t_0) = e^{\mathbf{A}(t - t_0)}

在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。

註解
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參考資料
相關條目
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