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可控制性

Wikipedia · 2025-02-04 维基百科 👁 0 阅读

可控制性（Controllability）是控制系統中的重要特性，在許多控制問題中都很重要，例如是否可以透過回授穩定一個本身不穩定的系統，或是最佳控制的相關問題。

可控制性及可觀測性是同一個問題上的对偶概念。

簡單來說，可控制性是指是否可以透過一些允許的程序讓系統調整到其組態空間內的任何一個組態。隨著其系統模型或是框架的不同，定義也會略有改變。

以下是一些在系統或是控制文獻中出現過的可控制性定義：

  • 狀態可控制性（State controllability）
  • 輸出可控制性（Output controllability）
  • 行為框架中的可控制性（Controllability in the behavioural framework）

狀態可控制性
狀態可控制性是指在确定性系統的状态空间內，也就是系統所有狀態變數數值組成的集合，可以完全描述系統在任一時間以下的狀態。特別是不需要有關系統以往的資訊，只要知道目前的狀態，以後所有的狀態都是已知的。

完全狀態可控制性（有時也稱為狀態可控制性）是指外在輸入（由控制變數組成的向量）可以在有限時間內將系統由任意狀態改變為另一個狀態。

可控制性表示可以使系統到達任意狀態，但不表示系統可以維持在該狀態，有可能系統只是在該狀態停留短暫間而已。

連續時間線性系統
考慮連續時間下的線性系統

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t).

存在一個控制u使系統在時間t_0至時間t_1，由狀態x_0改變為狀態x_1，若且唯若x_1 - \phi(t_0,t_1)x_0是以下的列空间中
: W(t_0,t_1) = \int_{t_0}^{t_1} \phi(t_0,t)B(t)B(t)^{T}\phi(t_0,t)^{T} dt
其中\phi是狀態轉移矩陣，而W(t_0,t_1)是可控制性格拉姆矩陣。

其實上，若\eta_0是W(t_0,t_1)\eta = x_1 - \phi(t_0,t_1)x_0的解，則控制u(t) = -B(t)^{T}\phi(t_0,t)^{T}\eta_0即為所需的控制輸入。

注意上述定義的W有以下的特質：

  • W(t_0,t_1)是對稱矩陣
  • W(t_0,t_1)是正定矩阵，t_1 \geq t_0
  • W(t_0,t_1)滿足以下的線性矩陣微分方程

:: \frac{d}{dt}W(t,t_1) = A(t)W(t,t_1)+W(t,t_1)A(t)^{T}-B(t)B(t)^{T}, \; W(t_1,t_1) = 0

  • W(t_0,t_1)滿足以下方程

:: W(t_0,t_1) = W(t_0,t) + \phi(t_0,t)W(t,t_1)\phi(t_0,t)^{T}

可控制性的秩條件
可控制性格拉姆矩陣和狀態轉移矩陣的積分有關。另外有一個較簡單，類似在非時變系統下的可控制性判斷方式。

考慮連續時間的線性系統\Sigma，在時間區間[t_0,t]內光滑變化：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t).

其狀態轉移矩陣也是光滑的，引入n x m的矩陣函數M_0(t) = \phi(t_0,t)B(t)，並且定義
: M_k(t) = \frac{\mathrm{d^k} M_0}{\mathrm{d} t^k}(t), k\geqslant 1.

考慮一個由M_i, i = 0,1, \ldots, k組成的矩陣：

M^{(k)}(t) := \left[M_0(t), \ldots, M_k(t)\right] .

若存在\bar{t} \in [t_0,t]以及非負整數k使得\operatorname{rank}M^{(k)}(\bar{t})=n，則\Sigma為可控制系統。

若\Sigma在區間[t_0,t]內也是解析變化，則\Sigma在[t_0,t]中的每個非平凡子區間內可控制，若且唯若存在\bar{t} \in [t_0,t]及非負變數使得rankM^{(k)}(t_i)=n：

:R = \begin{bmatrix} \mathbf{g}_1 & \cdots & \mathbf{g}_m & [\mathrm{ad}^k_{\mathbf{g}_i}\mathbf{\mathbf{g}_j}] & \cdots & [\mathrm{ad}^k_{\mathbf{f}}\mathbf{\mathbf{g}_i}] \end{bmatrix}.

此處[\mathrm{ad}^k_{\mathbf{f}}\mathbf{\mathbf{g}}]是重複的運算，定義如下

: [\mathrm{ad}^k_{\mathbf{f}}\mathbf{\mathbf{g}}] = \begin{bmatrix} \mathbf{f} & \cdots & j & \cdots & \mathbf{[\mathbf{f}, \mathbf{g}]} \end{bmatrix}.

線性系統的可控制性矩陣可以由此式推導而得。

零可控制性
若離散控制系統具有零可控制性（null-controllable），表示針對某一初始狀態x(0) = x_0，存在可控制的u(k)使得x(k_0) = 0。此條件和存在矩陣F使得A+BF為冪零矩陣的條件等價。

此條件可以由可控制-不可控制分離推導而得。

輸出可控制性
輸出可控制性（Output controllability）是有關系統輸出（以上表示為y）的特性，輸出可控制性描述外在輸入是否可以在有限時間內，將輸出從任意初始狀態控制到特定輸出。輸出可控制性和狀態可控制性不一定會有相關性。尤其：

  • 狀態可控制性的系統不一定會是輸出可控制性的系統。例如矩陣D = 0，且矩陣C沒有全秩，因為輸出矩陣的結構限制，有些輸出是無法達到的。即使系統的所有狀態都可以在有限時間內達到，但仍然有些特定的輸出是無法產生的。一個明顯的例子是D=0，且矩陣C至少有一行為零，因此此系統無法讓該輸出有不為零的輸出。
  • 輸出可控制性的系統也不一定會是狀態可控制性的系統。例如，假如狀態空間的維度大於輸出的維度，針對每一個輸出，都有一組可能的對應狀態組態。也就是說，系統可能會有零動態（zero dynamics），也就是系統狀態有變化，但是在輸出上完全看不出來。因此，可以在有限時間將輸出控制到特定輸出，和狀態的可控制性完全沒有關係。

針對線性連續時間系統，例如由矩陣A、B、C及D描述的系統，其m \times (n+1)r輸出可控制性矩陣
:\begin{bmatrix} CB & CAB & CA^2B & \cdots & CA^{n-1}B & D\end{bmatrix}
有滿行秩（rank m）若且唯若此系統為輸出可控制系統及探討的內容。
行為框架中的可控制性
在所謂的行為系統理論方法（behavioral system theoretic approach）中，不會直接定義模型輸入－輸出的結構。在此框架內，系統由是由變數集合的允許軌跡來表示，其中有些可能是輸入或是輸出。

在此框架中，可控制的系統是指，系統過去的行為（外在變數的軌跡）可以和任何未來的行為連接，而其連接方式都在可允允許的系統行為內。

可穩定性
可穩定性（stabilizability）是比可控制性要弱的一個條件。系統具有可穩定性若所有不可控的狀態都有穩定的動態特性。因此雖然系統中有一些狀態是不可控的，在系統動作時，所有的狀態都還是維持在一定的範圍內（有界）。Hautus引理有針對可穩定性的判斷

可達到集合
令T ∈ Т，且x ∈ X（其中X是所有可能狀態的集合，Т是一段時間區間）。在時間T內從x開始的可達到集合（reachable set）定義為:

R^T{(x)} = \left\{ z \in X : x \overset{T}{\rightarrow} z \right\}，其中 xz表示存在一個在時間T內從x到z的狀態轉換。

針對自主系統，其可達到集合為：
:Im(R)=Im(B)+Im(AB)+....+Im(A^{n-1}B),
其中R為可控制性矩陣。

若以可達到集合來表示，系統有可控制性若且唯若Im(R)=\R^{n}。

證明
根據以下的等式：
:R=[B\ AB ....A^{n-1}B]
:Im(R)=Im([B\ AB ....A^{n-1}B])
:dim(Im(R))=rank(R)
考慮系統可控制，因此R的-{zh-hans:列; zh-hant:行;}-需為線性獨立，因此
:dim(Im(R))=n
:rank(R)=n
:Im(R)=\R^{n}\quad \blacksquare

另一個和可達到集合有關的集合為可控制集合（controllable set），定義如下：
:C^T{(x)} = \left\{ z \in X : z \overset{T}{\rightarrow} x \right\}.
Sontag提出了可達到性（reachability）和可控制性的關係:

(a) n維離散線性系統可控制，若且唯若：
:: R(0)=R^k{(0)=X}（其中X為x的所有可能值或是狀態，且k為時間）
(b) 連結時間線性系統可控制，若且唯若：
:: R(0)=R^e{(0)=X}針對所有e>0。
若且唯若C(0)=C^e{(0)=X}針對所有e>0。

相關條目

  • 可觀測性
  • 狀態觀測器
  • 平坦性

腳註
參考資料
外部連結
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#控制理论

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