K類函數

\mathcal{K}類函數（Class kappa function）也稱為是在控制理論中判斷非自治系統（nonautonomous system）是否穩定時會用到的一類函數，會將其他函數和\mathcal{K}類函數比較，以確認系統的穩定性。

連續函數\alpha : [0, a) \rightarrow [0, \infty)若滿足以下條件，則屬於\mathcal{K}類函數：

• 函數嚴格遞增。
• 函數滿足\alpha(0) = 0。

連續函數\alpha : [0, a) \rightarrow [0, \infty)若滿足以下條件，則屬於\mathcal{K}_{\infty}類函數：

• 函數屬於\mathcal{K}類函數。
• 函數的定義域範圍可以到無限大，a = \infty.
• 函數滿足\lim_{r \rightarrow \infty} \alpha(r) = \infty .

若一非遞減的正定函數\beta滿足所有\mathcal{K}類（或\mathcal{K}_{\infty}類）函數的條件，只有嚴格遞增條件不滿足，可以用以下的方式讓此函數的上下界用\mathcal{K}類（或\mathcal{K}_{\infty}類）函數來表示：
: \beta(x)\frac{x}{x+1}

\mathcal{KL}類函數
連續函數\beta : [0, a) \times [0, \infty) \rightarrow [0, \infty)若滿足以下條件，則屬於\mathcal{KL}類函數：
*對於每一個固定的s，函數\beta(r,s)屬於\mathcal{K}類函數
*對於每一個固定的r，函數\beta(r,s)會隨著s遞減，而且當s \rightarrow \infty時，\beta(r,s) \rightarrow 0。

參考資料

• H. K. Khalil, Nonlinear systems, Prentice-Hall 2001. Sec. 4.4 - Def. 4.2.