最小能量控制

最小能量控制（minimum energy control）是控制理论中的一種最佳控制，是指讓控制系統以最小能量到達理想狀態的控制u(t)，而能量會用控制向量的轉置和控制向量的內積u^*(t) u(t)來表示。

線性非時變系統的最小能量控制
令線性非時變（LTI）系統為
: \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)
其初始條件 x(t_0)=x_0 。可以找到輸入 u(t) 使得系統在時間t_1的狀態為x_1，而且任何其他也可以讓系統在時間t_1的的狀態推進到x_1的輸入 \bar{u}(t)，其需要的能量都會比最小能量控制的能量要大。

: \int_{t_0}^{t_1} \bar{u}^(t) \bar{u}(t) dt \ \geq \ \int_{t_0}^{t_1} u^(t) u(t) dt.

要找到此一控制輸入，先計算可控制性格拉姆矩阵

: W_c(t)=\int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)}BB^e^{A^(t-\tau)} d\tau.

假設W_c為非奇異矩陣（若且唯若系統有可控制性），最小能量控制為

: u(t) = -B^e^{A^(t_1-t)}W_c^{-1}(t_1)[e^{A(t_1-t_0)}x_0-x_1].

代入其解中

:x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^{t}e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau

可以驗證系統在時間t_1時的狀態為x_1。

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外部連結
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