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LQR控制器

Wikipedia · 2026-07-08 维基百科 👁 1 阅读

最优控制理論主要探討的是讓动力系统以在最小成本來運作，若系統動態可以用一組线性微分方程表示，而其成本為二次泛函，這類的問題稱為線性二次（LQ）問題。此類問題的解即為線性二次調節器（），簡稱LQR。

LQR是回授控制器，方程式在後面會提到。LQR是LQG（線性二次高斯）問題解當中重要的一部份。而LQG問題和LQR問題都是控制理论中最基礎的問題之一。
簡介
控制機器（例如飛機）的控制器，或是控制製程（例如化學反應）的控制器，可以進行最佳控制，方式是先設定成本函數，再由工程師設定加權，利用數學演算法來找到使成本函數最小化的設定值。成本函數一般會定義為主要量測量（例如飛行高度或是制程溫度）和理想值的偏差的和。演算法會設法調整參數，讓這些不希望出現的偏差降到最小。而控制量的大小本身也會包括在成本函數中。

LQR演算法減少了工程師為了讓控制器最佳化，而需付出的心力。不過工程師仍然要列出成本函數的相關參數，並且將結果和理想的設計目標比較。因此控制器的建構常會是迭代的，工程師在模擬過程中決定最佳控制器，再去調整參數讓結果更接近設計目標。

在本質上，LQR演算法是找尋合適狀態回授控制器的自動化方式。因此也常會有控制工程師用其他替代方式，例如全狀態回授（也稱為極點安置）的作法，此作法對控制器參數和控制器性能之間的關係比較明確。而LQR演算法的困難之處在找合適的加權因子，這也限制了以LQR控制器合成的相關應用。

有限時間長度，連續時間的LQR
方程式如下的連續時間線性系統，t\in[t_0,t_1]：

:\dot{x} = Ax + Bu

其二次成本泛函為

:J = x^T(t_1)F(t_1)x(t_1) + \int\limits_{t_0}^{t_1} \left( x^T Q x + u^T R u + 2 x^T N u \right) dt

其中F、Q和R都是正定矩陣。

可以讓成本最小化的回授控制律為

:u = -K x \,

其中K為

:K = R^{-1} (B^T P(t) + N^T) \,

而P是連續時間Riccati方程的解：

:A^T P(t) + P(t) A - (P(t) B + N) R^{-1} (B^T P(t) + N^T) + Q = - \dot{P}(t) \,

邊界條件如下

:P(t_1) = F(t_1).

Jmin的一階條件如下

(i) 狀態方程
:\dot{x} = Ax + Bu

(ii) 協態方程
:-\dot{\lambda} = Qx + Nu + A^T \lambda

(iii) 靜止方程
: 0 = Ru + N^Tx + B^T \lambda

(iv) 邊界條件
: x(t_0) = x_0
且
\lambda(t_1) = F(t_1) x(t_1)

無限時間長度，連續時間的LQR
考慮以下的連續時間線性系統

:\dot{x} = Ax + Bu

其成本泛函為

:J = \int_{0}^\infty \left( x^T Q x + u^T R u + 2 x^T N u \right) dt

可以讓成本最小化的回授控制律為

:u = -K x \,

其中K定義為

:K = R^{-1} (B^T P + N^T) \,

而P是代數Riccati方程的解

:A^T P + P A - (P B + N) R^{-1} (B^T P + N^T) + Q = 0 \,

也可以寫成下式

:\mathcal A^T P + P \mathcal A - P B R^{-1} B^T P + \mathcal Q = 0 \,

其中

:\mathcal A = A - B R^{-1} N^T \qquad \mathcal Q = Q - N R^{-1} N^T \,

有限時間長度，離散時間的LQR
考慮離散時間的線性系統，定義如下

:x_{k+1} = A x_k + B u_k \,

其性能指標為

:J = x_N^T Q x_N + \sum\limits_{k=0}^{N-1} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k + 2 x_k^T N u_k \right)

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

:u_k = -F_k x_{k} \,

其中

:F_k = (R + B^T P_{k+1} B)^{-1} (B^T P_{k+1} A + N^T) \,

而P_k是由動態Riccati方程倒退時間佚代計算而得

:P_{k-1} = A^T P_k A - (A^T P_k B + N) \left( R + B^T P_k B \right)^{-1} (B^T P_k A + N^T) + Q

從終端條件P_N = Q開始計算。注意u_N沒有定義，因為 x 是由A x_{N-1} + B u_{N-1}推導到其最終狀態 x_N。

無限時間長度，離散時間的LQR
考慮離散時間的線性系統，定義如下

:x_{k+1} = A x_k + B u_k \,

其性能指標為

:J = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left( x_k^T Q x_k + u_k^T R u_k + 2 x_k^T N u_k \right)

可以讓性能指標最小化的最佳控制序列為

:u_k = -F x_k \,

其中

:F = (R + B^T P B)^{-1} (B^T P A + N^T) \,

而P是離散代數Riccati方程（DARE）的唯一正定解。

:P = A^T P A - (A^T P B + N) \left( R + B^T P B \right)^{-1} (B^T P A + N^T) + Q .

可以寫成

:P = \mathcal A^T P \mathcal A - \mathcal A^T P B \left( R + B^T P B \right)^{-1} B^T P \mathcal A + \mathcal Q

其中

: \mathcal A = A - B R^{-1} N^T \qquad \mathcal Q = Q - N R^{-1} N^T .

而求解代數Riccati方程的一個方式是迭代計算有限時間的動態Riccati方程，直到所得的解收斂為止。
參考資料
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外部連結

#最佳控制

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