懸鏈曲面

繞其準線旋轉而得的懸鏈曲面]]

懸鏈曲面（又名懸垂曲面）是一个曲面，是將懸鏈線繞其準線旋轉而得（見右側動畫），故為一旋轉曲面。除了平面以外，懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面，在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面，即為平面與懸鏈曲面。
懸鏈曲面可被以下參數式所定義：
:x=c \cosh \frac{v}{c} \cos u
:y=c \cosh \frac{v}{c} \sin u
:z=v

其中u \in [-\pi, \pi)，v \in \mathbb{R}且c為非零實數。
在圓柱座標系則有：
:\rho =c \cosh \frac{z}{c}
其中c为实数。

理想状态下，把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开，就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界（铁环）下表面积最小的旋转曲面，根据这个原理，可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。

螺旋面變換
如何變型成懸鏈曲面]]
螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面，我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說，我們可以用一個連續且等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份，且在變型的每一瞬間，曲面皆為极小曲面。此變換可由下列式子給出：

:x(u,v) = \cos \theta \,\sinh v \,\sin u + \sin \theta \,\cosh v \,\cos u

:y(u,v) = -\cos \theta \,\sinh v \,\cos u + \sin \theta \,\cosh v \,\sin u

:z(u,v) = u \cos \theta + v \sin \theta \,

:注意(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty)，且變換參數\theta滿足-\pi ，

其中
\theta = \pi對應到右旋螺旋面，
\theta = \pm \pi / 2對應到懸鏈曲面，
\theta = 0對應到左旋螺旋面。

该等距变换可以由微分几何中的曲面第一基本形式证明。

參見
*幾何
*曲面