二次规划（），在运筹学当中，是一种特殊类型的最优化问题。
簡介
一個有n個變數與m個限制的二次規劃問題可以用以下的形式描述。首先給定：
- 一個 n 維的向量 \mathbf{c}
- 一個 n\times n 維的對稱矩陣 Q
- 一個 m\times n 維的矩陣A
- 一個 m 維的向量 \mathbf{b}
則此二次規劃問題的目標即是在限制條件為
:Ax \le b
的條件下，找一個 維的向量 ，使得
:f(x)=(1/2)x^TQx + c^Tx
為最小。其中x^T是x的转置。
根據不同的參數特性，可以得到對問題不同的結論
- 如果Q是半正定矩阵，那么f(x)是一个凸函数。相应的二次规划为凸二次规划问题；此时若约束条件定义的可行域不为空，且目标函数在此可行域有下界，则该问题有全局最小值。
- 如果Q是正定矩阵，则该问题有唯一的全局最小值。
- 若Q为非正定矩阵，则目标函数是有多个平稳点和局部极小点的NP问题。
- 如果Q=0，二次规划问题就变成线性规划问题。
根据优化理论，一个点x成为全局最小值的必要条件是满足Karush-Kuhn-Tucker条件（KKT）。当f(x)是凸函数时，KKT条件也是充分条件。
当二次规划问题只有等式约束时，二次规划可以用线性方程求解。否则的话，常用的二次规划解法有：
- 内点法(interior point)
- active set
- 共轭梯度法
- 椭球法 若Q为正定矩阵，则相应的二次规划问题可由椭球法在多项式时间内求解。
- 增广拉格朗日法
- 梯度投影法
凸集二次规划问题是凸优化问题的一个特例。
对偶
每个二次规划问题的对偶问题也是二次规划问题。以正定矩阵Q为例：
:L(x,\lambda) = (1/2)x^TQx + \lambda^T(Ax-b) + c^Tx
对偶问题g(\lambda)，可定义为
:g(\lambda) = \inf_x L(x,\lambda)
可用\nabla_x L(x,\lambda)=0:得到L的极小
:x* = -Q^{-1}(A^T\lambda+c),
对偶函数：
:g(\lambda) = -(1/2)\lambda^TAQ^{-1}A^T\lambda - c^TQ^{-1}A^T\lambda - b^T\lambda
对偶问题为：
maximize : -(1/2)\lambda^TAQ^{-1}A^T\lambda - (c^TQ^{-1}A^T+b^T)\lambda
subject to :\lambda \ge 0
计算复杂性
当Q正定时，用椭圆法可在多项式时间内解二次规划问题。当Q非正定时，二次规划问题是NP困难的。即使Q只存在一个负特征值时，二次规划问题也是NP困难的。
参考文献
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