最优控制中的哈密頓量（Hamiltonian）是由列夫·庞特里亚金所發展，是庞特里亚金最小化原理的一部份。哈密頓量的概念是由古典力學中的哈密顿力学所引發，但兩者是不同的概念。庞特里亚金證明了求解最优控制問題的必要條件，就是要選擇可使哈密頓量最小化的控制輸入。細節可參考庞特里亚金最小化原理。
問題的敘述
最佳控制的問題，是要選擇控制輸入u(t)，使以下的目標函數有最小值
:
J(u)=\Psi(x(T))+\int^T_0 L(x,u,t) dt
其中x(t)為系統狀態，滿足狀態方程式
:
\dot{x}=f(x,u,t) \qquad x(0)=x_0 \quad t \in [0,T]
控制需滿足以下的限制條件
:
a \le u(t) \le b \quad t \in [0,T]
哈密頓量的定義
:
H(x,\lambda,u,t)=\lambda^T(t)f(x,u,t)+L(x,u,t) \,
其中\lambda(t)為協態變數組成的向量，其維度和狀態變數x(t)相同。
若要進一步瞭解哈密頓量的性質，可參考庞特里亚金最小化原理。
離散時間下的哈密頓量
若問題是在離散時間下，其哈密頓量定義為：
:
H(x,\lambda,u,t)=\lambda^T(t+1)f(x,u,t)+L(x,u,t) \,
而協態方程為
:
\lambda(t+1)=-\frac{\partial H}{\partial x} + \lambda(t)
（注意此處提到，離散哈密頓量在時間t的值和協態變數在時間t+1的值有關。這個小差異很重要，在對x微分後，可以在協態方程右邊得到和\lambda(t+1)有關的算式。若寫法有誤，所得的協態方程不是後向的差分方程，會帶來錯誤的結果。）
控制哈密頓量和力學哈密頓量的比較
威廉·哈密頓定義力學中的哈密頓量為三個變數的函數：
:\mathcal{H} = \mathcal{H}(p,q,t) = \langle p,\dot{q} \rangle -L(q,\dot{q},t)
其中\dot{q}定義如下
:p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}
哈密頓再將方程改為
:\frac{ d}{ dt}p(t) = -\frac{\partial}{\partial q}\mathcal{H}
:\frac{ d}{ dt}q(t) =~~\frac{\partial}{\partial p}\mathcal{H}
最佳控制中的哈密頓量則是四個變數的函數：
:H(q,u,p,t)= \langle p,\dot{q} \rangle -L(q,u,t)
其要有最大值的相關條件為
:\frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}
:\frac{dq}{dt} = ~~\frac{\partial H}{\partial p}
:\frac{\partial H}{\partial u} = 0
上述定義和Sussmann及Willems論文所提的一致。Sussmann及Willems證明了控制哈密頓量可以用在動力學上，例如最速降線問題，不過沒有提到康斯坦丁·卡拉西奥多里較早時期在此領域的貢獻。
參考資料
外部連結
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