最优控制中的奇異控制（singular control）是指一些不容易求解，無法利用庞特里亚金最小化原理求出完整解的問題。這類問題中只有少部份已有解答，例如金融經濟學中的或是航空學中的。以下有進一步的技術說明。
應用庞特里亚金最小化原理時，最常見的困難點是當哈密頓量和控制 u有線性關係時，也就是H(u)=\phi(x,\lambda,t)u+\cdots，而且控制有其上下限a\le u(t)\le b。為了使H(u)有最小值，需要儘可能的將u增加到最大，或是減少到最小，依\phi(x,\lambda,t)的符號而異：
: u(t) = \begin{cases} b, & \phi(x,\lambda,t)0.\end{cases}
若\phi有時為正，有時為負，偶爾是0，則其解相當的直接，即為起停式控制，當\phi由負切到正時，控制由b切換到a。
若\phi在一段有限時間t_1\le t\le t_2內均為0，則稱為奇異控制。在t_1和t_2之間，哈密頓量對u的最大化無法提供有關解的資訊，這段期間的解需要透過其他的資訊來求得。
（有一個作法是重複的將\partial H/\partial u對時間微分，直到有出現顯式控制項為止，之後可以令該式為0，求解u。因此在時間 t_1 和 t_2之間的控制 u 會讓奇異條件繼續成立，可以用此方式來計算控制 u。所得的奇異弧（singular arc）若滿足凱利條件（Kelley condition），奇異弧也會是最佳解：
:(-1)^k \frac{\partial}{\partial u} \left[ {\left( \frac{d}{dt} \right)}^{2k} H_u \right] \ge 0 ,\, k=0,1,\cdots
。此條件也稱為廣義的）。
bang-singular控制是指控制中有起停式控制的成份，也有奇異控制的成份。
參考資料
评论 (0)