李亞普諾夫方程（）是控制理論中的名詞，離散李亞普諾夫方程的型式如下：
:A X A^{H} - X + Q = 0
其中Q為埃尔米特矩阵，A^H為A的共轭转置。而連續李亞普諾夫方程則是
:AX + XA^H + Q = 0
李亞普諾夫方程應用在控制理論中的許多分支中，例如稳定性分析及最优控制。李亞普諾夫方程是得名自俄羅斯數學家亞歷山大·李亞普諾夫。
在穩定性中的應用
在以下的定理中，A, P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n}，且P 和Q是對應矩陣。而P>0的意思是指P矩陣為正定矩陣。
定理（連續時間版本）：給定任意Q>0，存在唯一P>0滿足A^T P + P A + Q = 0的充份必要條件是線性系統\dot{x}=A x是全域漸近穩定。二次函數V(z)=z^T P z是李亞普諾夫函數，可以驗證系統的穩定性。
定理（離散時間版本）：給定任意Q>0，存在唯一P>0滿足A^T P A -P + Q = 0的充份必要條件是線性系統x(k+1)=A x(k)是全域漸近穩定。z^T P z為其李亞普諾夫函數。
求解的計算層面
有特殊的軟體可以求解李亞普諾夫方程。若是離散型式，常會用Kitagawa的Schur法，若是連續型式，則會用Bartels和Stewart的計算法。
解析解
定義\operatorname{vec} (A)（向量化）運算子是將矩陣A的所有列堆起来所形成的列向量，而A \otimes B是A和B的克罗内克积。兩種李亞普諾夫方程都可以用矩陣方程的解來表示。而且，若矩陣A穩定，解也可以用積分（連續時間）或是無限項和（離散時間）來表示。
離散時間
利用 \operatorname{vec}(ABC)=(C^{T} \otimes A)\operatorname{vec}(B) 的結果，可以得到
: (I_{n^2}-\bar{A} \otimes A)\operatorname{vec}(X) = \operatorname{vec}(Q)
其中I_{n^2}為的單位矩陣。可以積分或或是求解線性方程，即可以得到\operatorname{vec}(X)。再將各列重新整理，即可得到X。
而且，若A穩定，解X也可以表示為
: X = \sum_{k=0}^{\infty} A^{k} Q (A^{H})^k 。
連續時間
再利用克罗内克积和\operatorname{vec} (A)運算子，可以得到矩陣方程
: (I_n \otimes A + \bar{A} \otimes I_n) \operatorname{vec}X = -\operatorname{vec}Q,
其中\bar{A}是將A各元素取共軛得到的矩陣。
類似離散時間的情形，若A穩定，解X也可以表示為
: X = \int\limits_0^\infty e^{A \tau} Q e^{A^H \tau} d\tau .
相關條目
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參考資料
外部連結
*[https://web.archive.org/web/20171129162733/http://calculator.vhex.net/calculator/linear-algebra/solve-lyapunov-eqution Online Lyapunov equation solver]
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