控制理論中，可观测性格拉姆矩阵（Observability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可觀測的格拉姆矩阵。
若針對以下的線性時變系統
\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) \,
可观测性格拉姆矩阵為
W_{o}(t_{0},t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\Phi^{T}(\tau,t_{0})C^{T}(\tau)C(\tau)\Phi(\tau,t_{0}) d\tau ,
其中\Phi為狀態轉換矩陣
系統在t\in[t_{0},t_{1}]具有可觀測性，若且唯若W_{o}(t_{0},t_{1})為非奇異矩陣，
連續時間，線性非時變系統
若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可观测性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。
若考慮以下的系統
\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)
y(t) = C x(t) + D u(t) \,
其可观测性格拉姆矩阵是以下n\times n的方陣
\boldsymbol{W_{o}}(t)=\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}\boldsymbol{C^{T}C}e^{\boldsymbol{A}\tau}d\tau
\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值實部均為負），可观测性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解
\boldsymbol{A^{T}}\boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{W}_{o}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{C^{T}C}
\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且\boldsymbol{W}_{o}也是正定矩陣，則此系統有可观测性。
離散時間，線性非時變系統
若考慮以下的離散時間系統
\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}[k+1]\boldsymbol{=Ax}[k]+\boldsymbol{Bu}[k]\\
\boldsymbol{y}[k]=\boldsymbol{Cx}[k]+\boldsymbol{Du}[k]
\end{array}
其離散可观测性格拉姆矩阵是以下n\times n的方陣
\boldsymbol{W}_{do}=\sum_{m=0}^{\infty}(\boldsymbol{A}^{T})^{m}\boldsymbol{C}^{T}\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}^{m}
\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解
W_{do}-\boldsymbol{A^{T}}\boldsymbol{W}_{do}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C^{T}C}
\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且\boldsymbol{W}_{do}也是正定矩陣，則此系統有可观测性。
參考資料
*
相關條目
*可觀測性
*可控制性格拉姆矩阵
*格拉姆矩阵
*漢克爾奇異值
外部連結
*[https://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ObservabilityGramian.html Mathematica function to compute the observability Gramian]
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