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互易定理

Wikipedia · 2026-05-13 维基百科 👁 1 阅读

在电磁学中，互易定理是电磁场理论的重要定理。由洛伦兹首先发现了一个定义在闭合曲面上的电磁场公式。后来Rayleigh-Carson又进一步把定理发展称为我们今天看到的形式，定义在一个体积分上。

互易定理的陈述
洛伦兹的贡献
假定有电磁场[\mathbf{E}_1,\mathbf{H}_1] 和电磁场[\mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2] 都是由曲面内的电流元产生的辐射场。这里假定计算是在频域或者傅里叶变换域。我们在电磁场公式中省写了\omega。

洛伦兹发现如下形式的互易定理

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = {{oiint
| preintegral =
| intsubscpt = \scriptstyle \partial V
| integrand = (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1)\cdot d\mathbf{A} =0
}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

注意：上面强调两个电磁场都是辐射场，其实是说这两个场都必须是滞后波。如果其中一个是超前波，一个是滞后波上述曲面积分不为零。

Rayleigh-Carson的贡献
假设[\mathbf{E}_1,\mathbf{H}_1]的电流元为：\mathbf{J}_1
假设[\mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2]的电流元为：\mathbf{J}_2

Rayleigh-Carson的贡献为
，

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = \int_{V1} (\mathbf{E}_2 \cdot \mathbf{J}_1) dV=\int_{V2} (\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2) dV
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

电路中的互易定理
上面公式反映在电路理论中就为，

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = \mathbf{V}_2 \cdot \mathbf{I}_1= \mathbf{V}_1 \cdot \mathbf{I}_2
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

其中
\mathbf{V}_2 是电流 \mathbf{I}_2 在电流\mathbf{I}_1 处产生的电动势。
测量 \mathbf{V}_2 时可将电流元\mathbf{I}_1 处电路开路。
\mathbf{V}_1 是电流 \mathbf{I}_1 在电流\mathbf{I}_2 处产生的电动势。
测量 \mathbf{V}_1 时可将电流元\mathbf{I}_2 处电路开路。

互易定理的一般形式
今天我们把如下一般形式的互易定量称为洛伦兹互易定理，

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = {{oiint
| preintegral =
| intsubscpt = \scriptstyle \partial V
| integrand = (\mathbf{E}_1 \times \mathbf{H}_2 - \mathbf{E}_2 \times \mathbf{H}_1)\cdot d\mathbf{A}
}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = = \int_V (-\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{J}_2 +\mathbf{E}_2 \cdot \mathbf{J}_1) dV dt
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

在上述一般形式互易定理中考虑洛伦兹的贡献即可得到Rayleigh-Carson的贡献的贡献。互易定理的一般形式也常常被称为洛伦兹互易定理。

互易定理的推导
由麦克斯韦方程可直接推导互易定理。但是因为这样的推导比较繁琐，也不能体现电磁场定理之间的关系。此处用另一种思路来推导互易定理。
从麦克斯韦方程出发可以推导坡印廷定理,坡印廷定理可以推导互能定理。麦克斯韦方程可以推导共轭变化，互能定理同共轭变换可以推导洛伦兹互易定理。

电磁场共轭变换
电磁场共轭变换

\mathbf{R}

在时域定义如下
（）：

\mathbf{R}[\mathbf{E}(t),\mathbf{H}(t),\mathbf{J}(t),\mathbf{K}(t),\epsilon(t),\mu(t)] = [\mathbf{E}(-t),-\mathbf{H}(-t),-\mathbf{J}(-t),\mathbf{K}(-t),\epsilon(-t),\mu(-t)]

在频域定义如下，

\mathbf{R}[\mathbf{E}(\omega),\mathbf{H}(\omega),\mathbf{J}(\omega),\mathbf{K}(\omega),\epsilon(\omega),\mu(\omega)] = [\mathbf{E}^(\omega),-\mathbf{H}^(\omega),-\mathbf{J}^(\omega)(\omega),\mathbf{K}^(\omega),\epsilon^(\omega),\mu^(\omega)]

其中

\mathbf{K}

为磁流密度。
共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。一个电磁场在共轭变换前满足麦克斯韦方程，则变换后仍满足麦克斯韦方程。共轭变换把滞后波变成超前波，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。

互易定理同互能定理的关系
对互能定理两个电磁场之一，比如 \mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2 作共轭变换可得洛伦兹互易定理。
反之，
对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如 \mathbf{E}_2,\mathbf{H}_2 作共轭变换可得互能定理。尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。

由此我们完成了麦克斯韦方程 到 坡印廷定理 到 互能定理 到 洛伦兹互易定理的证明。

参见

  • 经典电磁学

参考文献
引用
來源

外部链接

#电磁学 #电路定理

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