角度條件

的量值會滿足量值條件]]

角度條件（angle condition）是自動控制的根軌跡圖中，有關角度的限制條件，根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的角度會滿足角度條件。角度條件和量值條件可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為1+\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=0，而\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}，可改寫為以下各因式相乘的形式

: \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2) \cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},

則角度條件是指

:\angle (\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)) = \pi+2k\pi

其中k為整數。

也就是說

:\sum_{i=1}^{m}\angle(s-b_i) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s-a_i) = \pi+2k\pi

開迴路零點到s點角度的和，減去開迴路極點到s點角度的和，除2\pi後的餘數需等於\pi。
推導
假設。若將控制方程改為極坐標表示

: e^{j2\pi}+\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=0

: \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=-1=e^{j(\pi+2k\pi)}

其中k=0,1,2,\ldots為方程式中的解。將\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)改寫為各因式相乘的形式

: \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2) \cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},

再將因式(s-a_p)及(s-b_q)用向量的形式A_pe^{j\theta_p}及B_qe^{j\varphi_q}表示，因此可以改寫\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)如下。

: \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m)}}

簡化特徵方程式，

:
\begin{align}
e^{j(\pi+2k\pi)} & = K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m)}} \\[6pt]
& = K\frac{A_1 A_2 \cdots A_n}{B_1 B_2 \cdots B_m}e^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n-(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m))},
\end{align}

因此可以得到角度條件：

: \pi+2k\pi=\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n-(\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_m)

其中k=0,1,2,\ldots,

: \theta_1,\theta_2, \ldots, \theta_n

為極點1至n的角度，而

: \varphi_1,\varphi_2, \ldots, \varphi_m

為零點1至m的角度。

也可以用類似的方式推導量值條件。