量值條件

的量值會滿足量值條件]]

量值條件（magnitude condition）是自動控制的根軌跡圖中，有關量值的限制條件，根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件。量值條件和角度條件可以完全確定根軌跡圖。

令系統的特徵方程為1+\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=0，而\textbf{G}(s) \textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}，可改寫為以下各因式相乘的形式

: \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=\frac{\textbf{P}(s)}{\textbf{Q}(s)}=K\frac{(s-a_1)(s-a_2) \cdots (s-a_n)}{(s-b_1)(s-b_2)\cdots(s-b_m)},，

則量值條件是指找到K值使下式成立：

:|G(s)H(s)| = 1

也就是說

: K\frac{ |s - a_1| |s - a_2| \cdots |s - a_m|}=1

也就是

: K\frac=1,

若將控制方程改為極坐標表示：

: e^{j2\pi}+\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=0

\textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=-1=e^{j(\pi+2k\pi)}其中
(k=0,1,2,...)，這些是方程式所有的解。

將每一個因子(s-a_p)及(s-b_q)都用等效的向量A_pe^{j\theta_p}及B_qe^{j\phi_q}來表示，因此 \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)可以再作整理。

: \textbf{G}(s)\textbf{H}(s)=K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m)}}

簡化特徵方程式。

:
\begin{align}
e^{j(\pi+2k\pi)} & =K\frac{A_1 A_2 \cdots A_ne^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n)}}{B_1 B_2 \cdots B_m e^{j(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m)}} \\
& =K\frac{A_1 A_2 \cdots A_n}{B_1 B_2 \cdots B_m}e^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_n-(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m))},
\end{align}

因此可以推導出另一個形式的量值條件：

: 1=K\frac{A_1 A_2 \cdots A_n}{B_1 B_2 \cdots B_m}.

也可以用類似的方式推導角度條件。