半連續性

在數學分析中，半連續性是實值函數的一種性質，分成上半連續與下半連續，半連續性較連續性弱。

形式定義
設 X 為拓撲空間，x_0 \in X，而 f: X \to \R 為實值函數。若對每個 ε > 0 都存在 x_0 的開鄰域 U 使得 \forall x \in U, \; f(x) ，則稱 f 在 x_0 上半連續。該條件也可以用上極限等價地表述：
:\limsup_{x \to x_{0}} f(x) \leq f(x_{0})
若 f 在 X 上的每一點都是上半連續，則稱之為上半連續函數。

下半連續性可以準此定義：若對每個 ε > 0 都存在 x_0 的開鄰域 U 使得 \forall x \in U, \; f(x) > f(x_0) - \varepsilon，則稱 f 在 x_0 下半連續。用下極限等價地表述為：
:\liminf_{x \to x_{0}} f(x) \geq f(x_{0})
若 f 在 X 上的每一點都是下半連續，則稱之為下半連續函數。

拓撲基 ]-\infty, a[ \;\;(a \in \R) 賦予實數線 \R 較粗的拓撲，上半連續函數可以詮釋為此拓撲下的連續函數。若取基為 ]a, +\infty[ \;\;(a \in \R)，則得到下半連續函數。

例子
考慮函數
: f(x) = \begin{cases} -1 &, x
此函數在 x_0=0 上半連續，而非下半連續。

下取整函數 f(x)=\lfloor x \rfloor 處處皆上半連續。同理，上取整函數 f(x)=\lceil x \rceil 處處皆下半連續。

性質
一個函數在一點連續的充要條件是它在該點既上半連續也下半連續。

若 f, g 在某一
點上半連續，則 f+g 亦然；若兩者皆非負，則 fg 在該點也是上半連續。若 f 在一點上半連續，則 -f 在該點下半連續，反之亦然。

若 X 為緊集（例如閉區間），則其上的上半連續函數必取到極大值，而下半連續函數必取到極小值。

設 f_n 為下半連續函數序列，而且對所有 x \in X 有
: f(x) = \sup_n f_n(x)
則 f 是下半連續函數。

開集的指示函數為下半連續函數，閉集的指示函數為上半連續函數。

文獻
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