根軌跡圖

根軌跡圖（root locus）是控制理論及穩定性理論中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的环路增益）變化時，系統極點的變化。根軌跡圖是由所發展的技巧，是經典控制理論中的稳定性判据，可以判斷線性非時變系統是否穩定。

根軌跡圖是在複數s-平面中，系統閉迴路傳遞函數的极点隨著增益參數的變化（參照極零點圖）。

用途
除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比（ζ）及自然頻率（ωn）。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益K並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如超前-滞后补偿器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。

以上使用阻尼比及自然頻率的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬，確認符合需求。

定義
回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時，回授系統閉迴路極點的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足角度條件（angle condition）的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件（magnitude condition）來計算。

假設有個回授系統，輸入信號X(s)、輸出信號Y(s)。其順向路徑传递函数為G(s)，回授路徑传递函数為H(s)。

此系統的閉迴路傳遞函數為

:T(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}

因此，閉迴路傳遞函數的極點為特徵方程式1 + G(s)H(s) = 0的根，方程式的根可以令G(s)H(s) = -1來求得。

若是一個沒有純粹延遲的系統，G(s)H(s)的乘積為有理的多項式函數，可以表示為

:G(s)H(s) = K \frac{ (s + z_1) (s + z_2) \cdots (s + z_m)}{(s + p_1) (s + p_2) \cdots (s + p_n) }

其中-z_i為m個零點，-p_i為n個極點，而K為增益。一般而言，root locus diagram會標示在不同參數K時，傳遞函數極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意K值下，使G(s)H(s) = -1的極點，但無法看出K值變化時，極點移動的趨勢。

因為只有K的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式G(s)H(s)的每一個因式(s-a)就表示一個s-平面下由a到s的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。

根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為角度條件。

有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為K值會變，而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的K值，此即為量值條件。

以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖

根軌跡圖只能提供在增益K變化時閉迴路極點的位置資訊。K的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。

角度條件
複數s平面上的點s若滿足下式，即符合角度條件（angle condition）

:\angle (G(s)H(s)) = \pi+2k\pi

其中k為整數。

也就是說

:\sum_{i=1}^{m}\angle(s+z_i) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s+p_i) = \pi+2k\pi

開迴路零點到s點角度的和，減去開迴路極點到s點角度的和，除2\pi後的餘數需等於\pi。

量值條件
在根軌跡圖上的特定點s，數值K若使下式成立，就符合量值條件（magnitude condition）

:|G(s)H(s)| = 1

也就是說

: K\frac{ |s + z_1| |s + z_2| \cdots |s + z_m|}{|s + p_1| |s + p_2| \cdots |s + p_n| } = 1.

繪製根軌跡圖
利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 K 下的穩定性以及動態特性。其規則如下：

標示開迴路的極點及零點
將實軸上，在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。
找渐近线

令P為極點的個數，Z為零點的個數，兩者相減即為渐近线的數量：

:P - Z = \text{number of asymptotes} \,

漸近線和實軸的交點在\alpha（稱為形心），往外延伸的角度為\phi：

:\phi_l = \frac{180^\circ + (l - 1)360^\circ}{P-Z}, l = 1, 2, \ldots, P - Z

:\alpha = \frac{\sum_P - \sum_Z}{P - Z}

其中\sum_P為所有極點數值的和，\sum_Z為所有明確零點數值的和

根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度
計算分離點（breakaway/break-in points）

根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根

:\frac{dG(s)H(s)}{ds} = 0\text{ or }\frac{d\overline{GH}(z)}{dz} = 0

只要解開z，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點。

相關條目
*劳斯–赫尔维茨稳定性判据
*奈奎斯特稳定判据
*增益裕度及相位裕度
*波德圖
*相位裕度

參考資料
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