四維加速度

在相對論中，四維加速度是牛頓力學中三維加速度的對應推廣，其為一個四維向量。四維加速度應用於反質子湮滅反應、奇異粒子共振、加速電荷的輻射現象等研究領域中。

慣性座標系中的四維加速度
在狹義相對論的慣性座標系中，四維加速度\mathbf{A}定義為四維速度\mathbf{U}對一移動物體之原時\tau的微分，也就是說

: \mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U}}{d\tau}=\left(\gamma_u\dot\gamma_u c,\gamma_u^2\mathbf a+\gamma_u\dot\gamma_u\mathbf u\right)
=\left(\gamma_u^4\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}}{c},\gamma_u^2\mathbf{a}+\gamma_u^4\frac{\left(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\right)}{c^2}\mathbf{u}\right) = \left(\gamma_u^4\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}}{c}, \gamma_u^4\left(\mathbf{a}+\frac{\mathbf{u}\times \left(\mathbf{u}\times\mathbf{a}\right)}{c^2}\right)\right),

其中

: \mathbf a = {d\mathbf u \over dt} ，應用到三維加速度\mathbf a 與三維速度\mathbf u ；
以及
: \dot\gamma_u = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \gamma_u^3 = \frac{\mathbf{a \cdot u}}{c^2} \frac{1}{\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)^{3/2}}

應用到速度u（|\mathbf{u}|=u）下的勞侖茲因子\gamma_u。變數上方的點代表對本參考系座標時間t的微分，而非對物體原時\tau的微分。也就是說\dot\gamma_u ={d\gamma_u \over dt})。

在與該物體瞬時共同移動的慣性座標系中\mathbf u = 0, \gamma_u = 1 以及\dot\gamma_u = 0。亦即在這樣的參考系中，
: \mathbf{A} =\left(0, \mathbf a\right)。

幾何學上來看，四維加速度是移動物體世界線的曲率向量。

因此四維向量的大小（乃一純量）等同於物體沿世界線移動所「感受」到的固有加速度。

一物體的四維速度與四維加速度的內積（純量積）總是為0。

四維加速度與四維力之間有著簡單的關係式：
: F^\mu = mA^\mu ,

其中m是物體的不變質量。

當四維力為零，則僅只重力現象影響物體的軌跡，與牛頓第二運動定律相應的四維向量版本簡化為測地線方程式。依測地線移動的物體，其四維加速度為零；這表示重力其實不是一種力，而是受到扭曲的時空幾何。相應地，在牛頓力學，重力被當作一種力，其作用以三維加速度處理。

非慣性座標系中的四維加速度
非慣性座標系，包括了狹義相對論中的加速座標系以及廣義相對論中的任意座標系。在這樣的座標系情況下，四維加速度為四維速度對原時的絕對導數：

:A^\lambda := \frac{DU^\lambda }{d\tau} = \frac{dU^\lambda }{d\tau } + \Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}U^\mu U^\nu

慣性座標系中，克里斯多福符號\Gamma^\lambda {}_{\mu \nu}皆為零，所以此式還原成上一節的式子。

值得注意的是：克里斯多福符號是在採用直角座標的慣性系中為零。若選用彎曲座標系以描述加速運動，則克里斯多福符號不全為零。

相關條目

• 四維向量
• 四維速度
• 四維動量
• 四維力

參考文獻
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