克爾度規

廣義相對論中，克爾度規（）或稱克爾真空（），描述的一旋轉、球對稱之質量龐大物體（例如：黑洞）週遭真空區域的時空幾何。其為，故又稱克爾解；廣義相對論的主導方程式——愛因斯坦場方程式是非線性的，找出其精確解是相當困難的任務。

克爾度規是史瓦西度規（1915年）的推廣，後者用以描述靜態不旋轉、球對稱且不帶電荷的龐大物體週遭真空區域的時空幾何。在有帶電荷的情形，史瓦西度規轉成萊斯納-諾德斯特洛姆度規（1916年–1918年）。和曾使用弱场近似方法得到过旋转轴对称球状物体度规的近似解。直到在1963年方由羅伊·克爾提出精確解。，但他并没有给出推导过程。1973年Schiffer等人给出了克尔度规的推导。

克爾度規的帶電荷版本為克爾-紐曼度規（1965年），以上四個相關的解可整理為如下表格：

其中Q代表物體所帶電荷，而J代表物體的自轉角動量。

克尔度规的数学表示
若以波以耳-林德奎斯特座標寫出克爾真空解，則為：
:\mathrm{d}s^2 = -\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma}\right)\mathrm{d}t^2 -\frac{4aMr\sin^2\theta}{\Sigma}\mathrm{d}t\mathrm{d}\phi +\frac{\Sigma}{\Delta}\mathrm{d}r^2
::+\ \Sigma \mathrm{d}\theta^2 + \left(\Delta+\frac{2Mr(r^2+a^2)} {\Sigma}\right) \sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2
其中
:\Sigma=r^2+a^2\cos^2\theta,
:\Delta=r^2-2Mr+a^2,

• M為旋轉物體質量；
• a為自轉參數（spin parameter）或稱特定角動量（specific angular momentum），描述此物體的旋轉，與角動量J有關，關係式為a = J/M；
• 所有的物理量採用幾何單位：c=G=1。

當自轉參數a值為零，則表示物體無旋轉，克爾度規退化成史瓦西度規。a=M的例子對應到最大旋轉程度的質量物體。

注意到：

• 一般而言，波以耳-林德奎斯特徑向座標 r 並無簡單而直接、如同徑向座標般的詮釋。
• 「最大」旋轉程度指的是一黑洞可以存在的最大a值，而非旋轉質量物體可以具有的最大a值。

參看

• 史瓦西度規（Schwarzschild metric）
• 克爾-紐曼度規（Kerr-Newman metric）
• 萊斯納-諾德斯特洛姆度規（Reissner-Nordström metric）

參考文獻
延伸閱讀
*
*

• See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
• See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
• See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
• See chapter 7.
• Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.

*[http://www.arxiv.org/abs/gr-qc/0407064 arXiv eprint] Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electrogmagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
*

• "The Classical Theory of Fields", L.D. Landau, E.M. Lifshitz, Fourth revised English edition, Elsevier, Amsterdam ... London, New York ... Tokyo, 1975 (based on B. Carter, 1968).

*B. Carter, Phys. Rev. Lett. 26, 331, 1971

Trou noir de Kerr#Métrique de Kerr