德拜-沃勒因子

德拜-沃勒因子（Debye–Waller factor，DWF），得名于彼得·德拜和，在凝聚态物理学中描述的是X射线衍射中由热运动引起的衰减；又被称作B因子或者温度因子。是德拜-沃勒因子在相干和穆斯堡尔谱学中的一个推广。

在散射实验中，对于散射矢量 \mathbf{q}，\text{DWF}(\mathbf{q}) 给出的是的比例；1 - \text{DWF}(\mathbf{q}) 则是非弹性散射的比例。（严格来讲，这种概率诠释不是非常准确。）布拉格衍射实验中，弹性散射是出现布拉格峰的原因；而非弹性散射产生的是宽广的背景噪声，除非分析对象是散射粒子的能量（例如或是电子能量损失谱），否则均被视为干扰。因此在一般的衍射实验中，只有弹性散射是有效信息。这也使得德拜-沃勒因子的计算在衍射实验中具有重要的意义。

背景
在劳厄完成X射线衍射实验之前，学术界曾经对此实验的可行性进行过讨论。其中一种观点认为，在室温条件下，晶格中的原子由于热运动，是无法维持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在实际的实验中不应该观测到任何的衍射峰（即布拉格峰）。

然而，随后劳厄和布拉格等人的X射线衍射实验证实了布拉格峰的存在。实验中，当晶体的温度上升时，布拉格峰的强度下降，但其宽度不变。 以下是德拜的描述：

最初的理论
对此实验现象，德拜给出了最初的理论解释。给结构因子 S(\mathbf{q}) 中表示原子位置的项 \mathbf{R}_{j} 加上关于时间的微扰项 \mathbf{u}(t)，得到修正后的原子位置为 \mathbf{R}(t)=\mathbf{R}_{j}+\mathbf{u}(t)。假设每个原子都相对各自的平衡位置独立地振动，则对修正后结构因子中的 f_{j}\exp(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{R}_{j}) 一项变为：

:f_{j}\exp(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{R}_{j})\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle

修正项 \left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle 即为德拜-沃勒因子的最初来源。

定义
德拜-沃勒因子的基本表达式为：
: \text{DWF} = \left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle^2
其中的 \mathbf{u} 为热振动引起的位移，\left\langle...\right\rangle 表示热力学平均。

\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle 可被展开为
: 1 - i\left\langle \mathbf{q}\cdot \mathbf{u} \right\rangle - \frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle + ...

假设 \mathbf{u} 在空间上具有各向同性，即\left\langle \mathbf{q}\cdot \mathbf{u} \right\rangle = 0，则
: \left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle = 1 - \frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle + ...

注意到上式的前两项与 \exp(-\frac{1}{2} \left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle) 展开式的前两项是一致的。因此可用 \exp(-\frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle) 代换\left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle，代入开头的基本表达式：
: \text{DWF} = \left\langle \exp\left(-i \mathbf{q}\cdot \mathbf{u}\right) \right\rangle^2 = (\exp(-\frac{1}{2}\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle))^2 = \exp(-\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle)

即

{{Equation box 1 |indent =:|cellpadding = 0 |border = 1 |border colour = black |background colour = transparent
|equation = \text{DWF} = \exp(-\left\langle (\mathbf{q}\cdot \mathbf{u})^2 \right\rangle)}}

上式即为德拜-沃勒因子在教科书中常见的定义。值得注意的是上述推导都是在经典物理学的框架之下完成的；而在量子力学中，相同的结论依然成立。

进一步的推导可得
: \text{DWF} = \exp\left( -q^2 \langle u^2 \rangle / 3 \right)
其中 q，u 为向量 \mathbf{q}，\mathbf{u} 的大小。\langle u^2 \rangle 叫做。若入射波的波长为 \lambda，且被弹性散射了 2\theta 角度，可用下式计算出 q 的大小：
: q = \frac{4\pi \sin(\theta)}{\lambda}

B因子
在对蛋白质结构的研究中，“B因子（B-factor）”这个名称更为常用，其定义为
: B = 8\pi^2 \langle u^2 \rangle
单位为 Å2。B因子可被看作是结构中不同部分的相对振动。低B因子的原子从属于结构中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般属于结构中非常柔性易变（flexible）的部分。蛋白质资料库中的每一ATOM记录（）都会包含某特定原子的B因子信息。

参见
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注释
参考资料