在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形的话，从这个三角形的费马点到三角形的三个顶点、、的距离之和
PA+PB+PC
比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
费马点问题最早是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在一封写给意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
源起：费马的问题
1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃萬傑利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。
费马-托里拆利点
托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。
1647年，博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。
作法及证明
下面是三角形的费马点的作法：
*当有一个内角不小于120°时，费马点为此角对应顶点。
*当三角形的内角都小于120°时
**以三角形的每一边为底边，向外做三個正三角形，，。
**連接、、，则三条线段的交点就是所求的点。
几何证明
;三角形的内角都小于120°的情况：
;首先证明、、三条线交于一点。
设为线段和的交点。注意到三角形和三角形是全等的，三角形可以看做是三角形以点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角\angle \mathrm{C'PB}等于60度，和\angle \mathrm{C'AB}相等。因此，、、、四点共圆。同样地，可以证明、、、四点共圆。于是：
:\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{APC} = 120^\circ
从而\angle \mathrm{CPB} = 120^\circ 。于是可以得出：、、、四点共圆，即
:\angle \mathrm{A'PB} = \angle \mathrm{A'CB} = 60^\circ
:\angle \mathrm{APA'} = \angle \mathrm{APB} + \angle \mathrm{A'PB} = 120^\circ + 60^\circ
、、三点共线。也就是说、、三条线交于一点。
;接下来证明交点就是到三个顶点距离之和最小的点。
在线段上选择一点，使得 = 。由于\angle \mathrm{QPC} = 60^\circ ，所以等腰三角形是正三角形。于是\angle \mathrm{PCB} = \angle \mathrm{QCA'} 。同时 = 、 = ，于是可以得出三角形和三角形是全等三角形。所以 = 。综上可得出：
: =
对于平面上另外一个点，以为底边，向下作正三角形。运用类似以上的推理可以证明三角形和三角形是全等三角形。因此也有：
: =
平面上两点之间以直线长度最短。因此
: = =
也就是说，点是平面上到点、、距离的和最短的一点。
推广
费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有个点：，又有正实数：。费马问题可以推广为：寻找一个点，使得它到这个点的距离在加权后之和:
:\lambda_1 \cdot XP_1 + \lambda_2 \cdot XP_2 + \cdots + \lambda_m \cdot XP_m
是最小的。
高维的情况
费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在维实向量空间\mathbb{R}^n中，给定个点：，对空间中另一点，设它到前述个点的欧几里德距离之和为函数：
:\operatorname{Dist}(x) = \sum_{i=1}^m \| x - p_i\|
则费马点问题就变成寻找使得最小的一点\mathbb{R}^n。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论：
#使得最小点并且是唯一的。
#如果从任何一点到剩下的点方向上的个单位向量的向量和长度都大于1，那么：
#*不是中任何一点，
#*从到方向上的个单位向量的向量和是0。
#如果从某一点到剩下的点方向上的个单位向量的向量和长度小于等于1，那么就是这个点。
对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重。
参见
*西姆松定理
*九点圆
*斯坦纳树
参考来源
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