複對數

表示複對數的辐角（極坐標下相對原點的角度），其顏色的飽和度及亮度表示複對數的绝对值。圖片的檔案頁中有列出其顏色對應的數值]]

複對數（）為自然對數延伸到非零复数的函數，是以下兩個定義中的一個，這兩個定義彼此也密切相關：

• 非零複數z的複對數，定義為可以使e^w = z的任意複數w。此複數w

可以表示為\log z。若z以極坐標表示為z = re^{i\theta}，其中r和\theta是實數，r>0，則\ln r + i \theta是z的一個複對數，z的所有複對數會是\ln r + i\left(\theta + 2\pi k\right)，其中的k為整數。對數會在複數平面上在一條垂直線上等距排列。

• 複數值函數\log \colon U \to \mathbb{C}，定義在\mathbb{C}^*集合中非零複數中的一個子集合U，滿足e^{\log z} = z，針對U裡的所有z。這樣的複數函數類似實數的自然對數函數\ln \colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}，後者是實數指數函數的反函數，因此針對所有的正實數，可以滿足。複對數函數可以用有關實數值函數顯式公式來建立，用1/z的積分，或是用解析延拓的方式建立。

沒有在整個複數域\mathbb{C}^均有定義的連續複指數函數。處理此問題的方式包括、相關的黎曼曲面、以及複數指數函數的部份反函數（partial inverse）。主值（principal value）定義了特定的複指數函數\operatorname{Log} \colon \mathbb{C}^ \to \mathbb{C}，除了在負實數軸之外都連續。是不考慮負實數和0的複平面。這是（實數）自然對數的解析延拓。
參考資料
書目
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相關條目

• 对数
• 离散对数
• 指数函数
• 辐角
• 反三角函数
• 冪

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• 共形映射
• 解析延拓