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多值函数

Wikipedia · 2025-12-06 维基百科 👁 1 阅读

，因為X集合中的3對應Y集合中的二個元素b及c]]

多值函数（）為一數學名詞，是一種二元关系。其中，定义域X中的每一个元素都对应陪域Y中的至少一个元素。

此名词来源于复分析，例如複对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许X的元素对应多于一个Y中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。

有些多值函数拥有主分支（），而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（）。

例子
*每個大於0的實數都有二個實數的平方根，例如4的平方根是{{nowrap|{−2, +2}.}}，0的平方根是0。
*一般而言，許多不為0的複數都有二個平方根、三個立方根、n個n次方根，只有0的n次方根為0。
*複對數函數是多值函數。\log(a+bi)（a和b為實數）的值是\log{\sqrt{a^2 + b^2}} + i\arg (a+bi) + 2 \pi n i，其中n為任意整數。 .
*反三角函數為週期性的多值函数，例如
::
\tan\left({\textstyle\frac{\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{5\pi}{4}}\right)
= \tan\left({\textstyle\frac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\textstyle\frac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1.

:因此，arctan(1)在本質上會對應許多數值：/4, 5/4, −3/4等。若限制其tan x的定義域在，此區域下tan x為單純遞增，則arctan(x)的值域會在。這種限定區域下的值稱為主值。
不定積分也可以視為是多值函数，函數f的不定積分是一個函數的集合，集合中的每一個函數微分後都是f*，因此不定積分存在一積分常數，因為積分常數不論本身數值多少，微分後都是0。

所有的多值函数都是來自非單射的函數，因為原始函數無法完全保存其輸入的資訊，因此函數也就不可逆。

複變函數的多值函數會有，例如n次方根以及對數函數中，0是分支點，而arctan函數中，虛數單位i和−i為分支點。利用分支點可以限定範圍的方式，將這些函數重新定義為單值函數。若是在實函數的例子中，這個限制的區域一般會稱為函數的主分支。

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*：一種一對多的超連結
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參考資料

#函数

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