网球拍定理

网球拍定理或者中间轴定理，又称贾尼别科夫效应或扎尼别科夫效应（）是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解，该刚体可以绕三个不同的主轴旋转，并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫于1985年在太空中发现，因以為名。1991年的一篇论文解释了该效应，不過此現象在至少150年前就已被發現。

该定理所描述的現象為：剛體繞著第一個和第三個主轴轉動時很穩定，但繞居中的主軸轉動時則不穩定。我們可以用下面的实验来解释：握住拍柄使得拍面呈水平，然後將球拍拋至空中，繞著垂直握把的水平軸（圖中 ê2）旋轉，再試著接住球拍。旋轉過程中，拍面自身很可能也會轉了半圈，以致不容易接住。相對而言，如果是繞著握把軸（圖中 ê1）或是與拍面垂直的軸（ê3）旋轉，則可以不造成其他軸旋轉半圈。

事实上，该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现，例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同，该现象就会发生，不依赖于空气阻力或者重力。
|缩略图|網球拍繞三個軸旋轉的影片。中間那格從亮邊翻轉到了暗邊。]]

数学描述
自由转动时，欧拉方程的形式为
:
\begin{align}
I_1\dot{\omega}_{1}&=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(1)}\\
I_2\dot{\omega}_{2}&=(I_3-I_1)\omega_3\omega_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(2)}\\
I_3\dot{\omega}_{3}&=(I_1-I_2)\omega_1\omega_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{(3)}
\end{align}

这里，I_1, I_2, I_3为三个转动惯量，并假设 I_1 > I_2 > I_3。\omega_1, \omega_2, \omega_3为三个相应的角速度，\dot\omega_1, \dot\omega_2, \dot\omega_3为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况，要确定平衡状态的性质，可以假设另外两个初始角速度都非常小，从而~\dot{\omega}_{1}也非常小，所以\omega_1与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导，并把\dot{\omega}_3到代入其中，从而有
:
\begin{align}
I_2 I_3 \ddot{\omega}_{2}&= (I_3-I_1) (I_1-I_2)(\omega_1)^2\omega_{2}\\
\end{align}

下的網球拍原理，來自 NASA。]]值得一提的是，注意，现在\omega_2的符号发生了变化，所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于 I_3也是类似的原因，也是稳定的。

现在将一样的分析应用到 I_2上，这一次是\dot{\omega}_2非常小，{\omega}_2与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导，并把\dot{\omega}_3到代入其中，从而有
:
\begin{align}
I_1 I_3 \ddot{\omega}_{1}&= (I_2-I_3) (I_1-I_2)(\omega_2)^2\omega_{1}\\
\end{align}

注意，\omega_1的符号保持不变（角速度会增长），所以绕主轴2旋转不稳定。因此，一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。

参考文献