無差拍控制

無差拍控制(dead-beat control)是離散控制理論的一種問題,是針對特定系統,要找到可以在最短時間內讓輸出進入穩態的輸入信號。

可以證明在N階的線性系統中,若系統為零可控(null controllable,是指可以利用特定輸入使狀態變為0),其最少的步數不會超過N步(依初始條件而不同)。 解法是用反饋的方式,使閉迴路轉移函數的極點都在z平面的原點(有關z平面及轉移函數的細節,請參考Z轉換)。因此線性系統的例子很容易找到解。因此一個極點都在z平面的閉迴路轉移函數有時也會稱為無差拍轉移函數(dead beat transfer function)。

非線性系統的無差拍控制是一個仍在研究中的問題(可以參考以下Nesic的參考資料)。

無差拍控制器因為其動態特性良好,常用在過程控制中。此控制器是典型的回控控制器,其控制增益是依系統階數及正規化自然頻率的表來設定。

無差拍控制的特性如下:

零穩態誤差(Steady-state error)

最短上昇時間

最短安定時間

過沖量/下衝量小於2%

非常高的控制信號輸出

用法
無差拍控制中唯一的控制參數是取樣週期h。因為誤差在N個取樣週期後會變成0,因此其安定時間不會大於Nh

當取樣週期減少時,控制信號的大小會明顯變大。因此,在進行無差拍控制時,很重要的是小心的選擇取樣週期。

再者,因為控制器是用消去受控體的零點和極點來進行,因此需準確的知道零點和極點,否則,就有可能沒有無差拍特性。
遞移函數
假設受控體的遞移函數如下

:\mathbf{G}(z) = \frac{B(z)}{A(z)}

其中

:A(z) = a_{0} + a_{1} z^{-1} + a_{2} z^{-2} + \cdots a_{m} z^{-m},

:B(z) = b_{0} + b_{1} z^{-1} + b_{2} z^{-2} + \cdots b_{n} z^{-n}.

無差拍控制器的遞移函數是:

:\mathbf{C}(z) = \frac{A(z)/B(1)}{z^{d} - B(z)/B(1)},

其中d是要實現此控制器,需要有的最小系統延遲。例如有二個極點的系統,從控制器到輸出至少需要2步的延遲,因此d = 2。

閉迴路遞減函數為:

:\mathbf{L}(z) = \frac{B(z)/B(1)}{z^d},
所有的極點都在原點。
參考資料
Kailath, Thomas: Linear Systems*, Prentice Hall, 1980, ISBN 9780135369616
[http://www.inma.ucl.ac.be/~bastin/paper46.pdf] Nesic et al.:Output dead beat control for a class of planar polynomial systems*
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