外餘割

{{函數
|name =外餘割
|image =Excosecant plot.svg

|heading1 =1
|parity =非奇非偶
|domain = \left\{x\in\mathbb{R}|x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}\right\}
\left\{x\in\mathbb{R}|x\neq 180^\circ k,\,k\in\mathbb{Z}\right\}
|codomain = -2 \geq \operatorname{excsc} x \geq 0
|period = 2\pi
（360°）

|heading2 = 1
|zero = ∞
|plusinf = N/A
|minusinf = N/A
|max = +∞
|min = -∞
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =

|heading3 = 1
|asymptote = x=k\pi
（）
|root = \frac\pi{2}+2k\pi
（90^\circ+360^\circ k）
|critical = k\pi-\tfrac{\pi}{2}
（）
|inflection =
|notes = k是一個整數。
}}
外餘割（）是一種可以根據餘割定義的三角函數，现很少使用。
其符号通常表示为\operatorname{excosec} x或\operatorname{exc} x。
其函數值比餘割函數少1，換句話說，其與餘割的關係可以用下列等式表達：
:\operatorname{excosec} x=\csc(x)-1。
在單位圓上，外餘割位於餘割線上單位圓的外側，因此稱為外餘割。此外，外餘割也有、external cosecant、outward cosecant和outer cosecant等稱呼。在數學表達式中，外餘割除了表示為\operatorname{excosec} x或\operatorname{exc} x之外，在不同文獻中，外餘割也有\operatorname{coexsec} x等表示方式。

外餘割曾被用來描述費米子的动能。由於在角度接近\frac{\pi}2（90度）時，餘割函數的值會接近於1，引此使用上述公式來計算外餘割的話，會在這些角度的函數值上出現嚴重的灾难性抵消或數值誤差。因此這時對餘割函數表的精確度要求將非常高，而若定義了外餘割函數，則使用外餘割函數的函數表則能一定程度上的避免上述問題。但後來隨著-{zh-cn:计算器; zh-tw:計算機; zh-hk:計數機;}-和-{zh-cn:计算机; zh-hk:計算機; zh-tw:電腦; zh-sg:电脑;}-的發展與廣泛使用，因此外餘割函數的需求已經逐漸變的不明顯，因此現在只有非常少數的情況會使用到外餘割函數。早在1880年就已經有文獻使用了

計算
在早期电脑;}-不普遍的時候，外餘割函數的計算若使用公式\operatorname{excsc}(\theta) = \csc(\theta) - 1來計算的話，會在角度接近\frac{\pi}2+2\pi（90度）及其同界角時出現嚴重的灾难性抵消或數值誤差。因此若要更精確地計算外餘割函數的話，需要使用以下等式：
:\operatorname{excsc}(\theta) = \frac{1-\sin(\theta)}{\sin(\theta)}
= \frac{\operatorname{coversin}(\theta)}{\sin(\theta)}
= \operatorname{coversin}(\theta) \csc(\theta).
但在-{zh-cn:计算机; zh-hk:計算機; zh-tw:電腦; zh-sg:电脑;}-不普遍的的時代，要做這些乘法運算非常耗時，因此專用於外餘割函數的函數表就會變得很有用。

恒等式
导数
: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\operatorname{excsc}(\theta) = -\cot(\theta)\csc(\theta) = \frac{-\cos(\theta)}{\sin^2(\theta)}

積分
: \int\operatorname{excsc}(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \ln\left[\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\right] - \theta + C

与其他三角函数的关系
:\operatorname{excsc}(\theta) = \operatorname{csc}(\theta) - \sin(\theta) - \operatorname{coversin}(\theta).
:\operatorname{excsc}(\theta) = 2 \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)^2 \csc(\theta).\
:\operatorname{excsc}(\theta) = \cot(\theta) \cot\left(\frac{\theta}{2}\right).
:\operatorname{excsc}(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\cos(\theta))^2}} - 1.

反外餘割
反外餘割（arcexcosecant）是外餘割的反函數。符號通常會表示為arcexcosec、 arcexcsc、 aexcsc、 aexc、 arccoexsecant、 arccoexsec或excsc−1。其定義為：
:\operatorname{arcexcsc}(y) = \arccsc(y+1) = \arcsin\left(\frac{1}{y+1}\right)

參見
*外正割

參考文獻
外部連結
*