幾何標準差

在機率論與統計學中，幾何標準差形容一組數值有多分散，用於當這一組數字理應優先選用的平均數為幾何平均數之時。對於這類數據，幾何標準差可能優於普通的標準差。留意幾何標準差是個乘法因數，因此是無因次的，而不似普通的算術標準差，與輸入數值有同樣的因次。

定義
若一組數字{A1, A2, ..., An}的幾何平均數用μg表示，則幾何標準差是

: \sigma_g = \exp \left( \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln { A_i \over \mu_g } )^2 \over n } \right) \qquad \qquad (1)

推導
若幾何平均數是

: \mu_g = \sqrt[n]{ A_1 A_2 \cdots A_n }

則兩邊取自然對數得

: \ln \mu_g = {1 \over n} \ln (A_1 A_2 \cdots A_n)

乘積的對數等於對數的和（假設對於所有i，A_i是正數），所以

: \ln \mu_g = {1 \over n} [ \ln A_1 + \ln A_2 + \cdots + \ln A_n ]

現在可以看出 \ln \, \mu_g 是這組 \{ \ln A_1, \ln A_2, \dots , \ln A_n \} 的算術平均數，因此這同一組的算術標準差應為

: \ln \sigma_g = \sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln A_i - \ln \mu_g )^2 \over n }

這化簡成

: \sigma_g = \exp{\sqrt{ \sum_{i=1}^n ( \ln { A_i \over \mu_g } )^2 \over n }}

幾何標準分數
標準分數的幾何版本是

: z = {{\ln ( x ) - \ln ( \mu_g )} \over \ln \sigma_g } = {\log _{\sigma_g} (x / \mu_g)}

若已知一個數據的幾何平均數、幾何標準差、和幾何標準分數，則可重構

: x = \mu_g {\sigma_g}^z

與對數正態分佈的關係
幾何標準差用於量度對數正態分佈的離散程度，就如幾何平均數。由於對數正態分佈通過對數變換得出正態分佈，可見幾何標準差是e的冪，指數為對數變換後的標準差，即是\sigma_g = \exp(\operatorname{stdev}(\ln(A)))。

於是乎，從一個呈對數正態分佈的母體中，抽取樣本來計算出幾何平均數和幾何標準差，可用來找出置信區間的上下限，如同使用算術平均數和標準差求正態分佈的置信區間。詳見對數正態分佈。

參考