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正交多項式

Wikipedia · 2025-12-03 维基百科 👁 1 阅读

函數W(x)若在區間(a,b)可積，且W(x) \ge 0，則可作為權函數。

對於一個多項式的序列{f_i}和權函數W(x)，定義內積
: \langle f_m, f_n \rangle=\int_{a}^{b} f_m(x) f_n(x)\,W(x)\,dx

若n \ne m，\langle f_m, f_n \rangle = 0，這些多項式則稱為正交多項式（）。

若{f_i}除了正交之外，更有\langle f_n, f_n \rangle=1的話，則稱為規範正交多項式。

例子
若權函數為1，區間為(-1,1)，f_0(x) = 1，對應的正交多項式有：

:f_1(x) = x\,

:f_2(x) = \frac{3x^2-1}{2}\,

:f_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2}\,

:f_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8}\,

:::\vdots

它們稱為勒讓德多項式。

對於任意向量空間的基，Gram-Schmidt正交化可以求出一個正交基。對於多項式空間的基，正交化的結果便是勒讓德多項式。

常見的正交多項式

  • 切比雪夫多項式
  • 雅可比多項式
  • 埃尔米特多项式
  • 拉盖尔多项式
  • 蓋根鮑爾多項式
  • 哈恩多项式
  • 拉卡多项式
  • 查理耶多项式
  • 连续双哈恩多项式
  • 贝特曼多项式
  • 双重哈恩多项式
  • 小q-雅可比多项式
  • 本德尔·邓恩多项式
  • 威尔逊多项式
  • Q哈恩多项式
  • 大q-雅可比多项式
  • Q-拉盖尔多项式
  • Q拉卡多项式
  • 梅西纳多项式
  • 克拉夫楚克多项式
  • 梅西纳-珀拉泽克多项式
  • 连续哈恩多项式
  • 连续q-哈恩多项式
  • Q梅西纳多项式
  • 阿斯克以-威尔逊多项式
  • Q克拉夫楚克多项式
  • 大q-拉盖尔多项式
  • 双Q克拉夫楚克多项式
  • Q查理耶多项式
  • 泽尔尼克多项式
  • 罗杰斯-斯泽格多项式
  • 戈特利布多项式

*

性質
*遞迴關係方程

f_{n+1} = (a_n + x b_n)f_n - c_n f_{n-1}

其中 b_n = \frac{k_{n+1}}{k_n} ,\qquad a_n = b_n ( \frac{k_{n+1}'}{k_{n+1}} - \frac{k_{n}'}{k_{n}}), \qquad c_n = b_n ( \frac{k_{n-1} h_n}{k_{n} h_{n-1}} ), \qquad h_n = \langle f_n,f_n \rangle
*實根：所有正交多項式系中的正交多項式都有n個實根，這些根是相異且在正交區間之內。
*奇偶性：若W(x)為偶函數，且正交區間為(-a,a)，則有f_n(-x) = (-1)^n f_n(x)。

外部連結

#正交多項式

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