沃尔斯滕霍尔姆定理

在數論上，沃尔斯滕霍尔姆定理說明，對於大於或等於5的質數，有

• {2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}
• {ap \choose bp} \equiv {a \choose b} \pmod{p^3}
• (p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right) \equiv 0 \pmod{p^2}
• (p-1)!^2\left(1+{1 \over 2^2}+{1 \over 3^2}+...+{1 \over (p-1)^2}\right) \equiv 0 \pmod{p}

以上四個等式是等價的。

只有少數質數符合{2p-1 \choose p-1} \equiv 1 \, \bmod \, p^4，現時已知有兩個這樣的質數，16843 及 2124679 （A088164）。這類質數稱為沃尔斯滕霍尔姆素数，下一個這樣的質數如果存在，它大於109。

這定理是19世紀英國數學家約瑟夫·沃爾斯滕霍爾姆提出的。值得一提的是沃爾斯滕霍爾姆是吳爾芙的父親的朋友，也是吳爾芙小說《燈塔行》中奧古斯圖斯·卡麥可的原形。