相空间表述是量子力学的一种表述。在这一表述中，系统的状态是在相空间中描述的，位置与动量被放在同等重要的位置。在量子力学常用的薛定谔绘景中则只会采用动量表象或是位置表象中的一种。相空间表述两个关键的特点是：量子态是以描述的而非波函数、态矢或是密度矩阵；算符间的乘法被取代。
相空间表述理论是由于1946年在其博士学位论文中提出的。也在3年后独立导出该理论。他们所提出的理论都建构于赫尔曼·外尔以及尤金·维格纳早先的构想。
相空间表述的主要优势在于其在形式上与哈密顿力学近似，可以避免引入算符，进而可以“令量子化问题摆脱希尔伯特空间的限制”。这一表述具有统计性质，表现了量子力学和经典统计力学逻辑上的联系，提供了一个比较二者的角度。相空间表述在量子光学、量子退相干以及一些特殊问题中已经得到应用，但其尚未得到广泛应用。
相空间表述所基于的一些概念目前已在数学领域得到了进一步发展，如代数以及非交换几何。
相空间分布
在相空间表述中，相空间分布，而非较为常见的波函数或是密度矩阵，是对于系统量子态最为基础的描述方式。量子态在相空间中的分布是一个准概率分布。
这一分布有许多种表象，而这些表象也是互相相关的。其中较为重要的一种是維格納準概率分佈表象，、、柯克伍德-雷阿切克表象、梅塔表象、里维耶表象以及玻恩-约当表象等等。其他表象在哈密顿算符取特定形式时会较为便利，如哈密顿算符取正规序时，采用格劳伯-苏德尔辛P表象在演算时会较为简便。由于维格纳表象较为常用，因而在下文中，如不特殊提及，将统一采用该表象。
相空间分布性质与维相空间概率密度分布类似。例如，其分布值是实数，这与通常是复数的波函数不同。我们可以通过在全动量域以及某一位置区间上的维格纳函数积分来理解该位置附近的概率分布：
:\operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b \int_{-\infty}^{\infty} W(x, p) \, dp \, dx
如果是一个表征可观测量的算符，其可以通过映射到相空间中，成为，还可以通过还原回来。
通过相空间分布可以求得可观测量的期望值为：
:\langle \hat{A} \rangle = \int A(x, p) W(x, p) \, dp \, dx
需要注意的是，尽管形式存在一定的类似性，但考虑到概率第三公理的要求并非一种联合分布，因为其所表征的区域中的状态并不一定相互排斥。此外，尽管会违反概率第一公理，即使系统处于纯态时，在特殊情况下，如系统处于相干态时，其值也可能为。
可以证明，分布值为负的区域非常小，其对于系统整体的影响在几内，因而会在经典极限情况时会消失。但由不确定性原理，负分布值的区域有存在的可能性。不确定性原理并不允许对于相空间内小于的区域进行精确描述。如果方程左边为希尔伯特空间中算符的期望值，那么在量子光学领域，这个式子可以称作。
星积
相空间中基础的二元非交换运算为穆瓦亚尔积，其对应标准的算符间乘法，以符号★表征，因而也称“星积”{{efn|因而，通过高斯函数可以构造双曲函数形式的星积
：
:H \star W = E \cdot W
式中为哈密顿量。它是一个普通相空间函数，通常与经典力学中的哈密顿量相同。
时间演化
相空间的时间演化可以通过对刘维尔方程进行量子改造得到。这个方程是通过对进行维格纳变换得到的。
对于相空间分布的任意表象及其对应的星积，存在：
:\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{1}{i \hbar} \left(f \star H - H \star f \right),
特别地，对于维格纳函数，存在：
:\frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W,H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W \sin \left ( {{\frac{\hbar }{2}}(\stackrel{\leftarrow }{\partial }_x
\stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p}-\stackrel{\leftarrow }{\partial }_{p}\stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x})} \right )
\ H =-\{W,H\} + O(\hbar^2),
式中为。其为对易算符经过维格纳变换后的结果，而{ , }则为经典力学中的泊松括号。或者严格解出，但两种方法都存在一定的缺陷。}}
例子
简单谐振子
维格纳-外尔表象下，一维简单谐振子的哈密顿量为：
:::H=\frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}.
则静态维格纳函数的星积本征值方程为：
:\begin{align}
H \star W &= \left(\frac{1}{2}m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \star W \\
&= \left(\frac{1}{2}m \omega^2 \left( x+\frac{i \hbar}{2} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} \right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p - \frac{i \hbar}{2} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right)^2\right) ~ W\\
&= \left( \frac{1}{2}m \omega^2 \left(x^2 - \frac{\hbar^2}{4} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p}^2 \right) + \frac{1}{2m}\left( p^2 -\frac{\hbar^2}{4} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}^2 \right) \right) ~ W\\
&\, \, \, \, \, + \frac{i \hbar}{2} \left(m \omega^2 x \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} - \frac{p}{m} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right) ~ W \\
&= E \cdot W.
\end{align}
首先考察星积本征值方程的虚数部分：
:::\frac{\hbar}{2} \left(m \omega^2 x \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{p} - \frac{p}{m} \stackrel{\rightarrow }{\partial }_{x}\right) \cdot W=0
这意味着，星积本征态可以表示为一个单自变量函数：
::W(x,p)=F\left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right)\equiv F(u).
通过这一变量变换，星积本征值方程的实数部分可以写为一个改造过的拉盖尔方程。它的解可以以拉盖尔多项式的形式表示为：
:K_{rad}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{1+(t/\tau)^2}\right)
:K_{ang}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\tau)^2}~.
莫尔斯势
莫尔斯势常被用来近似双原子分子的振动结构。
。其中实线为哈密顿量的水平集，。]]
量子隧穿效应
量子隧穿效应是一种典型的量子效应。在发生隧穿时，粒子在不具备足够飞跃势垒的能量时，仍能像有一个“隧道”一样穿过势垒。这一效应在经典力学中并没有对应的效应。
四次势
注释
参考文献
评论 (0)