冲激不变法是利用连续时间滤波器来设计离散时间无限冲激响应（IIR）滤波器的一种方法，这种方法中对连续时间系统的冲激响应进行采样以产生离散时间系统的冲激响应。离散时间系统的频率响应就会是连续时间系统的频率响应的位移后的拷贝之和；如果连续时间系统的频带大致限制在小于采样的奈奎斯特频率的范围内，则离散时间系统的频率响应会大致与连续系统的频带相同，低于奈奎斯特频率。

背景
直接在離散時間域中設計 IIR 濾波器並不容易，因此實務上常採取「先設計類比原型、再映射為數位濾波器」的策略：先在連續時間域中設計一個性能良好的類比原型（例如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器或橢圓濾波器），再透過某種轉換得到對應的數位濾波器。
这是因为 h_c (0) 应道贡献一半的值给 h[0]。

修正为：

:h[n] = T \left( h_c(nT) - \frac{1}{2} h_c(0)\delta [n] \right) \,

:h[n] = T \sum_{k=1}^N{A_ke^{s_knT}} \left( u[n] - \frac{1}{2} \delta[n] \right) \,

对离散时间冲激响应进行Z变换得到下面的离散时间系统函数

:H(z) = T \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}} - \frac{T}{2} \sum_{k=1}^N A_k}.

設計步驟
脈衝不變法的設計流程可整理如下：

依規格（截止頻率、通帶／止帶衰減等）設計類比原型轉移函數 H_c(s)。

選定取樣週期 T，並將類比規格頻率換算為對應的數位頻率 \omega=\Omega T。

對 H_c(s) 作部分分式展開，取得各殘數 A_k 與極點 s_k。

套用映射：殘數改為 T A_k、極點改為 z=e^{s_k T}，組成 H(z)=\sum_k \dfrac{T A_k}{1-e^{s_k T}z^{-1}}。

若類比脈衝響應於 t=0 不連續（即 h_c(0)\neq 0），可選擇套用上節之修正公式。

通分整理為 H(z)=B(z)/A(z)，並驗證其頻率響應是否符合規格；若混疊明顯，可提高取樣頻率（縮小 T）後重做。

設計範例
考慮類比原型

:H_c(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)},

其極點為 s_1=-1,\;s_2=-2，殘數為 A_1=2,\;A_2=-1，並具一零點於 s=-3。由部分分式可得脈衝響應

:h_c(t)=\left(2e^{-t}-e^{-2t}\right)u(t).

取取樣週期 T=1（示意值），則離散脈衝響應為 h[n]=\left(2e^{-n}-e^{-2n}\right)u[n]，其前幾項數值為

:h[0]=1,\quad h[1]\approx0.6004,\quad h[2]\approx0.2524,\quad h[3]\approx0.0971.

依設計步驟，將兩項各自映射並通分。分母為

:\left(1-e^{-1}z^{-1}\right)\left(1-e^{-2}z^{-1}\right)=1-\left(e^{-1}+e^{-2}\right)z^{-1}+e^{-3}z^{-2}=1-0.5032\,z^{-1}+0.0498\,z^{-2},

分子為

:2\left(1-e^{-2}z^{-1}\right)-\left(1-e^{-1}z^{-1}\right)=1+\left(e^{-1}-2e^{-2}\right)z^{-1}=1+0.0972\,z^{-1},

故得未修正之數位系統函數

:H(z)=\frac{1+0.0972\,z^{-1}}{1-0.5032\,z^{-1}+0.0498\,z^{-2}}.

可驗證數位極點位於 z=e^{-1}\approx0.3679 與 z=e^{-2}\approx0.1353，與「極點映射為 e^{s_kT}」一致。然而數位零點位於 z\approx-0.0972，並未落在 z=e^{-3}\approx0.0498，再次說明零點不滿足不變性。

由於本例 h_c(0)=2-1=1\neq 0，屬上節修正公式之適用情形。套用修正（自常數項扣除 \tfrac{T}{2}\sum_k A_k=0.5）後得

:H(z)=\frac{0.5+0.3488\,z^{-1}-0.0249\,z^{-2}}{1-0.5032\,z^{-1}+0.0498\,z^{-2}},

此時 h[0] 由 1 修正為 0.5，恰為原值之一半，與修正公式之物理意義相符。若比較此數位濾波器與類比原型 H_c(j\omega/T) 的幅度響應，可發現低頻處兩者形狀相符，而在接近 \omega=\pi 處數位響應被抬高，此即高頻成分折回所造成的混疊。

取樣週期的選擇
取樣週期 T 是脈衝不變法中需權衡的關鍵參數。由於頻率映射為線性的 \Omega=\omega/T，縮小 T（提高取樣率）會把類比原型的頻譜壓往較低的正規化頻率，使奈奎斯特頻率以上的殘餘響應更小，從而抑制混疊；但過高的取樣率會使極點 e^{s_kT} 過於接近單位圓上的 z=1，可能在有限字長實作中惡化數值敏感度。實務上常選擇足以使原型在奈奎斯特頻率附近衰減至可忽略的取樣率，並在必要時以更高取樣率重新設計後再評估。與雙線性轉換不同，脈衝不變法不需要頻率預扭，因為其頻率對應本身即為線性。

優點與限制
優點

頻率映射為線性（\Omega=\omega/T），在無混疊範圍內可精確保留類比原型的頻率響應形狀與相對頻率位置，不會像雙線性轉換產生頻率扭曲。
在取樣點上保留了類比脈衝響應的時域波形，適合對時域特性（如暫態響應）有要求的應用。
因果穩定的類比原型可保證得到因果穩定的數位濾波器。

限制

混疊是最根本的限制：若類比原型在奈奎斯特頻率以上仍有顯著響應，平移副本疊加會使數位響應失真。

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其他来源

Oppenheim, Alan V. and Schafer, Ronald W. with Buck, John R. Discrete-Time Signal Processing. Second Edition. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, 1999.
Sahai, Anant. Course Lecture. Electrical Engineering 123: Digital Signal Processing. University of California, Berkeley. 5 April 2007.

外部链接

[http://www.circuitdesign.info/blog/2009/02/impulse-invariant-transform/ Impulse Invariant Transform at CircuitDesign.info] Brief explanation, an example, and application to Continuous Time Sigma Delta ADC's.

冲激不变法