對數凸函數

對數凸函數或超凸函數是指一函數f，其 {\log}\circ f（函數f取對數後的數值）仍為凸函數，其原函數即為對數凸函數。
定義
令是实数向量空间內的凸集，令為非負值的函數。則為：

• 對數凸函數若{\log} \circ f為凸函數，
• 嚴格對數凸函數若{\log} \circ f嚴格凸函數。

此處視\log 0為-\infty。

明顯可看出，為對數凸函數若且唯若，針對所有，以及所有，以下二個等效的條件會成立：
:\begin{align}
\log f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le t\log f(x_1) + (1 - t)\log f(x_2), \\
f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le f(x_1)^tf(x_2)^{1-t}.
\end{align}

而是嚴格對數凸函數若且唯若，在上述二個式子中，的小於等於都改為小於，在範圍內都成立。

以上定義允許等於零，但若是對數凸函數，且在內的任一處為零，則需在內部的所有位置都要為零。

等效條件
若在定義在區間的可微函數，則為對數凸函數。若且唯若下式在所有內的和都成立：
:\log f(x) \ge \log f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y).

這和以下條件等效，只要和在內，且，則下式成立：
:\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)^{\frac{1}{x - y}} \ge \exp\left(\frac{f'(y)}{f(y)}\right).

而且是嚴格對數凸函數若且唯若上述的不等式中，均為嚴格的不等式。

若是二次可微，則其為對數凸函數若且唯若，針對所有在內的，
:f*(x)f(x) \ge f'(x)^2.
若上述的不等式是嚴格不等式，則是嚴格對數凸函數。不過，其反例不成立。有可能是嚴格對數凸函數，且針對一些，可以找到f(x)f(x) = f'(x)^2。例如，若f(x) = \exp(x^4)，則是嚴格對數凸函數，但f(0)f(0) = 0 = f'(0)^2。

f\colon I \to (0, \infty)為對數凸函數，若且唯若e^{\alpha x}f(x) 在所有\alpha\in\mathbb R內都是凸函數。

充份條件
若f_1, \ldots, f_n為對數凸函數，且w_1, \ldots, w_n為非負實數，則f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n}為對數凸函數。

若\{f_i\}_{i \in I}是一個對數凸函數的族，則g = \sup_{i \in I} f_i是對數凸函數。

若f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R}是凸函數，且g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0}是非遞減的對數凸函數，則g \circ f是對數凸函數。

性質
對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數f 本身是凸函數，因為這是遞增凸函數\exp及\log\circ f（依定義是凸函數）的复合函数。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像g: x\mapsto x^2是凸函數，但{\log}\circ g: x\mapsto \log x^2 = 2 \log |x|不是凸函數，因此g不是對數凸函數。另一方面，x\mapsto e^{x^2}是對數凸函數，因為x\mapsto \log e^{x^2} = x^2是凸函數。

例子

• f(x) = \exp(|x|^p)是對數凸函數，若p \ge 1，若p > 1，函數是嚴格對數凸函數。
• f(x) = \frac{1}{x^p}，針對所有的p>0.，在(0,\infty)範圍內，是嚴格對數凸函數。
• 正數上的Γ函数是對數凸函數。（參見）。

註解
參考資料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.
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外部連結
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