積度量

在數學裡，積度量（product metric）是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量。n 個度量空間之笛卡爾積的積度量，可視為是將 n 個子空間的範數作為 n 維向量之各分量，取其 p-範數所得之值。
:d_p(\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n) = \|(d_1(\mathbf{x}_1), \dots, d_n(\mathbf{x}_n))\|_p

定義
令 (X, d_{X}) 與 (Y, d_{Y}) 為度量空間，且令 1 \leq p \leq + \infty。X \times Y 上之 p-積度量 d_{p} 定義為

:對於 x_{1}, x_{2} \in X 及 y_{1}, y_{2} \in Y，

:d_{p} \left( (x_{1}, y_{1}) , (x_{2}, y_{2}) \right) := \left( d_{X} (x_{1}, x_{2})^{p} + d_{Y} (y_{1}, y_{2})^{p} \right)^{1/p} for 1 \leq p

:d_{\infty} \left( (x_{1}, y_{1}) , (x_{2}, y_{2}) \right) := \max \left\{ d_{X} (x_{1}, x_{2}), d_{Y} (y_{1}, y_{2}) \right\}.

範數的選擇
在歐氏空間裡，使用 L2 範數會在積空間裡產生歐幾里得度量；不過，選擇 p 的其他值也會形成其他拓撲等價的度量空間。在度量空間範疇（具有利普希茨常數為 1 的利普希茨映射）裡，使用上確界範數。

參考資料
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度量幾何