在拓撲學與相關數學領域裡，導出拓撲（，或译诱导拓扑）是指透過拓撲空間與某個集合間的函數，所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域或對應域。
定義
導出拓撲的定義如下：
:令 X0、X1 為集合，f:X_0\to X_1 為由 X0 映射至 X1 的函數。
:若 \tau_0 為 X0 上的拓撲，則由 f 在 X1 上導出之拓撲為 \{U_1\subseteq X_1 | f^{-1}(U_1)\in\tau_0\}。
:若 \tau_1 為 X1 上的拓撲，則由 f 在 X0 上導出之拓撲為 \{f^{-1}(U_1) | U_1\in\tau_1\}。
可以看到，上述兩個定義都是使用原像，因為原像會維持集合的交集與聯集，但像則不一定可以。舉例來說，考慮一具有拓撲 \{\{-2, -1\}, \{1, 2\}\} 之集合 X_0=\{-2, -1, 1, 2\}、一集合 X_1=\{-1, 0, 1\}，以及一函數 f:X_0\to X_1，使得 f(-2)=-1, f(-1)=0, f(1)=0, f(2)=1。可知，\tau_1=\{f(U_0)|U_0\in\tau_0\} 不會形成一個拓撲，因為 \{\{-1, 0\}, \{0, 1\}\} \subseteq \tau_1，但 \{-1, 0\} \cap \{0, 1\} \notin \tau_1。
下面為導出拓撲的等價定義：
:由 f 在 X1 上導出之拓撲 \tau_1 為使得 f 是連續的最精細拓撲。此一拓撲為 X1 上終拓撲之一例。
:由 f 在 X0 上導出之拓撲 \tau_0 為使得 f 是連續的最粗糙拓撲。此一拓撲為 X0 上初拓撲之一例。
例子
- 商拓撲是個由商映射導出之拓撲。
- 若 f 是個包含映射，則 f 在 X0 上會導出子空間拓撲。
參考資料
*
另見
- 自然拓撲
拓撲學
點集拓撲學
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