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帕累托分布

Wikipedia · 2025-08-26 维基百科 👁 1 阅读

{{Probability distribution
|name =帕累托分布
|type =密度
|pdf_image =
|cdf_image =
|parameters =xm > 0
k > 0
|support =x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!
|pdf =\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\!
|cdf =1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k\!
|mean =\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\!，k>1
|median =x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}
|mode =x_\mathrm{m}\,
|variance =\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\!，k>2
|skewness =\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\!，k>3
|kurtosis =\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\!，k>4
|entropy =\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!
|mgf =未定义
|char =k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,|
}}

帕累托分布(Pareto distribution)是以意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托命名的。 是从大量真实世界的现象中发现的幂定律分布。这个分布在经济学以外，也被称为布拉德福分布。

在帕累托分布中，如果X是一个随机变量， 则X的概率分布如下面的公式所示：

:{\rm P}(X>x)=\left(\frac{x}{x_{\min}}\right)^{-k}

其中x是任何一个大于xmin的数，xmin是X最小的可能值（正数），k是为正的参数。帕累托分布曲线族是由两个数量参数化的：xmin和k。分布密度则为

:p(x) = \left \{ \begin{matrix} 0, & \mbox{if }x x_{\min}. \end{matrix} \right.

帕累托分布属于连续概率分布。
“齊夫定律”, 也称为“zeta 分布”, 也可以被认为是在离散概率分布中的帕累托分布。 一个遵守帕累托分布的随机变量的期望值为
x_{\min} \; k \over k-1 (如果 k \leq 1, 期望值为无穷大) 且随机变量的标准差为 {x_{\min} \over k-1} \sqrt{k \over k-2} (如果 k \leq 2, 标准差不存在)。

被认为大致是帕累托分布的例子有：

  • 财富在个人之间的分布
  • 人类居住区的大小
  • 对维基百科条目的访问
  • 接近绝对零度时，玻色–爱因斯坦凝聚的团簇
  • 在互联网流量中文件尺寸的分布
  • 油田的石油储备数量
  • 龙卷风带来的灾难的数量

参见

  • 帕累托法则
  • 帕累托插值

外部链接

#连续分布

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