伽玛分布

{{機率分佈
| name =Gamma
|type =密度
|pdf_image =
|cdf_image =
|parameters =k > 0\, 形状参数 (实数)
\theta > 0\, 尺度参数 (实数)
|support =x \in (0; \infty)\!
|pdf =x^{k-1} \frac{\exp{\left(-x/\theta\right)}}{\Gamma(k)\,\theta^k}\,\!
|cdf =\frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}\,\!
|mean =k \theta\,\!
|median =no simple closed form
|mode =(k-1) \theta\,\! for k \geq 1\,\!
| variance =k \theta^2\,\!
|skewness =\frac{2}{\sqrt{k}}\,\!
|kurtosis =\frac{6}{k}\,\!
|entropy =k + \ln\theta + \ln\Gamma(k) \!

• (1-k)\psi(k) \!

|mgf =(1 - \theta\,t)^{-k}\,\! for t
|char =(1 - \theta\,i\,t)^{-k}\,\!
}}
伽玛分布（）是統計學的一種連續機率分布。伽玛分佈中的母數 \alpha，稱為形狀参数，\beta 稱為尺度参数。

實驗定義與觀念
假设 X_1, X_2, \cdots, X_n为连续发生事件的等候时间，且这 n 次等候时间为独立的，那么这 n 次等候时间之和 Y （Y=X_1+X_2+\cdots+X_n）服从伽玛分布，即 Y~Gamma(\alpha,\beta)，亦可記作Y~Gamma(\alpha,\lambda)，其中 \alpha=n，而 \beta 與 \lambda 互為倒數關係，\lambda 表單位時間內事件的發生率。

指数分布為 \alpha=1 的伽瑪分布。

記號
有兩種表記方法：

X \sim \Gamma(\alpha, \beta)或X \sim \Gamma(\alpha, \lambda)

兩者所表達意義相同，只要將以下式子做{\color{Red}\lambda =\frac{1}{\beta}}的替換即可，即，其機率密度函數為：

f \left( x \right)
\frac{x^\left(\alpha-1\right){\color{Red}\lambda}^\alpha e^\left(-{\color{Red}\lambda} x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}
\frac{x^\left(\alpha-1\right)e^\left(-{\color{Red}\frac{1}{\beta}} x\right)}{{\color{Red}\beta}^\alpha \Gamma\left(\alpha \right)}

，x > 0

其中Gamma函数之特徵為：

\begin{cases} \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)! & \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{Z}^+
\\ \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha-1)& \mbox{if }\alpha\mbox{ is }\mathbb{R}^+
\\ \Gamma \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}
\end{cases}

特性
母函數、期望值、變異數
*Gamma分配的矩母函数（m.g.f）
:
M_{x}\left( t \right)
E\left( e^{xt} \right)
\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma\left(\alpha\right)}
\int_{0}^{\infty}
e^{xt}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx
\left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right)^{\alpha}
\left( 1-{\beta}{t} \right)^{-\alpha}

*概率母函数（p.g.f）

:
K_x\left(t\right)
\ln M_x\left( t \right)
\alpha\left[\ln\lambda-\ln\left(\lambda-t\right)\right]

*期望值

:
\frac { dK_x \left( t \right) } {dt}
=
\frac {\alpha} {\lambda-t}
,\quad when(t=0),
E\left( X \right)
\frac{\alpha}{\color{Red}\lambda}
\alpha{\color{Red}\beta}

*方差

:
\frac { d^2K_x \left( t \right) } {dt^2}
=
\frac {\alpha} {\left(\lambda-t\right)^2}
,\quad when(t=0),
\sigma^2\left( X \right)
\frac{\alpha}{\color{Red}{\lambda^2}}
\alpha{\color{Red}{\beta^2}}

Gamma的可加性
當兩隨機變數服從Gamma分布，且相互獨立，且母數（\lambda或\beta）相同時，Gamma分布具有可加性。

:
\coprod
\begin{cases} r.v.X\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_1},\lambda \right)
\\
r.v.Y\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_2},\lambda \right)
\end{cases}
\Longrightarrow
X+Y\sim \Gamma \left( {\color{green}\alpha_1+\alpha_2},\lambda \right)

外部連結

• [http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/ LDA-math-神奇的Gamma函数]
• [http://www.vias.org/simulations/simusoft_distcalc.html 分布计算器]（英文）